contrôle du 23 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3-x+2}{x^2+1}}$.

1. Montrer que la droite d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction f en $+\infty$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-x& =& {\displaystyle \frac{x^3-x+2}{x^2+1}}-x\\ & =& {\displaystyle \frac{x^3-x+2-x\left(x^2+1\right)}{x^2+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2x+2}{x^2+1}}\end{array}$$

   Or $\begin{array}{ccccccc}\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-2x+2}{x^2+1}}& =& \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-2x}{x^2}}& =& \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-2}{x}}& =& 0\end{array}$

   Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-x=0$. Donc a droite d'équation $y=x$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction f en $+\infty$.

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2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f, calculer $f\prime \left(x\right)$.

   La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $$\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$$

   Avec u et v fonctions définies sur $\left[0;+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{lrll}& u\left(x\right)=x^3-x+2& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=3x^2-1\\ \text{et}& v\left(x\right)=x^2+1& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$$

   Donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ , $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(3x^2-1\right)\times \left(x^2+1\right)-2x\left(x^3-x+2\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3x^4+3x^2-x^2-1-2x^4+2x^2-4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^4+4x^2-4x-1}{{\left(x^2+1\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^4+4x^2-4x-1}{{\left(x^2+1\right)}^2}}$.

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3. On admet que $f\prime \left(x\right)⩾0$ équivaut à $x\in \left[1;+\infty \right[$

   1. Donner le tableau complet des variations de f.

      Nous avons $$\begin{array}{ccc}f\left(0\right)=2& \text{et}& f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1^3-1+2}{1^2+1}}=1\end{array}$$

      D'autre part, les variations de f, se déduisent du signe de la dérivée $f\prime$.

      x	0		1		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	2		1		$+\infty$

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   2. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=3$ admet une solution unique α. Donner un encadrement de α à 10⁻² près.

      La fonction f est dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ donc continue sur $\left[0;+\infty \right[$.

      D'après le tableau de variation de la fonction f, pour tout réel $0⩽x⩽1$, $f\left(x\right)⩽2$ donc l'équation $f\left(x\right)=3$ n'a pas de solution sur l'intervalle $\left[0;1\right]$.

      D'autre part, la fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$, à valeurs dans l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$, alors d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f\left(x\right)=3$ admet une solution unique α avec $\alpha >1$.

      À l'aide de la calculatrice, on détermine des encadrements successifs de $\alpha$ jusqu'à obtenir un encadrement d'amplitude 10^-2 : $$\begin{array}{ccccc}f\left(3\right)<3& \text{et}& f\left(4\right)>3& \text{d'où}& 3<\alpha <4\\ f\left(\mathrm{3,3}\right)<3& \text{et}& f\left(\mathrm{3,4}\right)>3& \text{d'où}& \mathrm{3,3}<\alpha <\mathrm{3,4}\\ f\left(\mathrm{3,38}\right)<3& \text{et}& f\left(\mathrm{3,39}\right)>3& \text{d'où}& \mathrm{3,38}<\alpha <\mathrm{3,39}\end{array}$$

      L'équation $f\left(x\right)=3$ admet une solution unique α avec $\mathrm{3,38}<\alpha <\mathrm{3,39}$.

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