Résoudre dans l'inéquation
En utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle, simplifier l'expression
Résoudre dans l'équation
La courbe tracée ci-dessous dans un repère orthonormé est la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle . On désigne par la fonction dérivée de f sur .
La tangente à la courbe au point passe par le point . En déduire et .
Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d'une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction F. (Justifier)
Courbe 1 | Courbe 2 | Courbe 3 |
Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur par .
Déterminer les limites de la fonction f en − 1 et en . Interpréter graphiquement les résultats.
Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x de l'intervalle , .
Soit F la primitive de la fonction f telle que .
Déterminer une équation de la tangente d à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 1.
Calculer
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 0.
Soit la suite numériquedéfinie par et pour tout entier naturel n, .
Utiliser les droites d'équations et pour construire les quatre premiers termes de la suite .(Cette construction est à faire sur le graphique de l'annexe ci-dessous)
Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite ?
Soit la suite définie, pour tout entier naturel n par .
Démontrer que est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Exprimer alors , en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, .
La suite est-elle convergente ?
Une salle de spectacle propose un abonnement pour l'année. En 2010, il y avait 300 abonnés. On estime que chaque année, il y a 200 nouveaux abonnés et que d'une année sur l'autre, 75 % des abonnés renouvellent leur abonnement.
On note le nombre d'abonnés pour l'année 2010 + n. On a donc et .
À partir de quelle année, le nombre d'abonnés sera supérieur à 790 ?
Dans ces conditions, est-il possible pour le gérant de la salle de spectacle d'espérer 1 000 abonnés ?
Dans cet exercice, les résultats seront éventuellement arrondis à 10−3 près.
Une étude sur la fréquentation d'une salle de spectacle a permis d'établir les résultats suivants :
À la sortie d'un spectacle, on choisit un spectateur au hasard et on note :
Grâce aux données de l'énoncé, donner les probabilités suivantes , et
Calculer
Démontrer que la probabilité de l'évènement C est 0,54.
Le spectateur choisi n'a pas été influencé par une critique, quelle est la probabilité que ce soit un spectateur possédant un abonnement ?
On choisit successivement au hasard et de manière indépendante trois spectateurs. Quelle est la probabilité qu'il y en ait au plus deux ayant un abonnement ?
La production mensuelle d'une certaine catégorie d'articles par une entreprise est comprise entre 0 et 8000. Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction définie sur l'intervalle par où x représente le nombre de milliers d'articles fabriqués.
La fonction coût moyen, notée C est la fonction définie sur par
Donner une expression du coût moyen en fonction de x.
Déterminer où désigne la fonction dérivée de la fonction coût moyen C
Résoudre dans l'équation .
Résoudre dans l'inéquation .
En déduire le sens de variations de la fonction coût moyen C sur .
Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?
Chaque millier d'articles est vendue 3500 €. La recette totale pour x milliers d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par en milliers d'euros.
Le bénéfice est donc défini par . En annexe, sont représentées les fonctions et R.
Par lecture graphique déterminer :
le coût moyen minimal ;
l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise ;
la production pour laquelle le bénéfice est maximal.
On fera apparaître les constructions nécessaires.
Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise.
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