contrôles en terminale ES

contrôle du 30 janvier 2010

Corrigé de l'exercice 1

Une entreprise fabrique des articles en grande quantité. Une étude statistique a permis de constater que 10% des articles fabriqués sont défectueux.

Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au millième. Les trois parties sont indépendantes.

première partie

Les articles fabriqués peuvent présenter au maximum deux défauts notés a et b.

On note :
A l'évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut a » ;
B l'évènement : «Un article prélevé au hasard présente le défaut b » ;
$\bar{A}$ et $\bar{B}$ les évènements contraires respectifs de A et B.

On donne les probabilités suivantes : $p (A) = 0,05$ ; $p (B) = 0,06$ .

Quelle est la probabilité de l'évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » ?
L'évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » est l'évènement contraire de l'évènement « un article prélevé au hasard un défaut ». Or 10% des articles fabriqués sont défectueux d'où $p (\bar{A \cup B}) = 1 - 0,1 = 0,9$
La probabilité de l'évènement « un article prélevé au hasard ne présente aucun défaut » est égale à 0,9.
Calculer la probabilité de l'évènement « un article prélevé au hasard présente les deux défauts ».
L'évènement « un article prélevé au hasard présente les deux défauts » est l'evènement $A \cap B$ . Or $\begin{matrix} p (A \cup B) = p (A) + p (B) - p (A \cap B) & \Leftrightarrow & p (A \cap B) = p (A) + p (B) - p (A \cup B) \\ Soit & p (A \cap B) = 0,05 + 0,06 - 0,1 = 0,01 \end{matrix}$
Ainsi, la probabilité de l'évènement : « un article prélevé au hasard présente les deux défauts » est égale à 0,01.
On prélève au hasard un article parmi ceux qui présentent le défaut a. Calculer la probabilité que cet article présente également le défaut b.
Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement B sachant que l'évènement A est réalisé : $\begin{matrix} p_{A} (B) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)} & Soit & p_{A} (B) = \frac{0,01}{0,05} = 0,2 \end{matrix}$
La probabilité que parmi les articles qui ont le défaut a, un article présente également le défaut b est égale à 0,2.
Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
Nous avons $p_{A} (B) = 0,2$ et $p (B) = 0,06$
D'où $p (B) \neq p_{A} (B)$ . Donc les évènements A et B ne sont pas indépendants.

deuxième partie

On prélève au hasard trois articles et on considère ces trois prélèvements comme étant indépendants.

Dans les deux questions suivantes, on s'intéresse uniquement à la réalisation de l'évènement $D = A \cup B$ ou à sa non réalisation $\bar{D}$ . Il s'agit de la répétition de trois expériences de Bernoulli indépendantes, modélisées par l'arbre ci-dessous :

La loi de probabilité associée au nombre d'articles ayant un défaut est une loi binomiale de paramètres 0,1 et 3.

Calculer la probabilité qu'un seul des trois articles soit sans défaut.
Il y a trois issues $D D \bar{D}$ , $D \bar{D} D$ et $\bar{D} D D$ qui correspondent à l'évènement E « un seul des trois articles est sans défaut ». D'où : $p (E) = 3 \times 0,9 \times {0,1}^{2} = 0,027$
La probabilité qu'un seul des trois articles soit sans défaut est égale à 0,027.
Calculer la probabilité qu'au moins un des trois articles soit sans défaut.
L'évènement F « au moins un des trois articles est sans défaut » est l'évènement contraire de l'évènement « les trois articles ont un défaut ». D'où : $p (F) = 1 - {0,1}^{3} = 0,999$
La probabilité qu'au moins un des trois articles soit sans défaut est égale à 0,999.

troisième partie

L'entreprise décide de mettre en place un test de contrôle de ces articles avant leur mise en vente. Ce contrôle détecte et élimine 85% des articles défectueux, mais il élimine également à tort 5% des articles non défectueux. Les articles non éliminés sont alors mis en vente.

On prend au hasard un article fabriqué et on note :
D l'évènement « l'article est défectueux »
V l'évènement «l'article est mis en vente ».

Construire un arbre pondéré rendant compte de cette situation.
- 10% des articles fabriqués sont défectueux alors, $p (D) = 0,1$ et $p (\bar{D}) = 1 - p (D) = 0,9$ .
- Le contrôle détecte et élimine 85% des articles défectueux alors, $p_{D} (\bar{V}) = 0,85$ et $p_{D} (V) = 1 - p_{D} (\bar{V}) = 0,15$ .
- Le contrôle détecte et élimine à tort 10% des articles non défectueux alors, $p_{\bar{D}} (\bar{V}) = 0,05$ et $p_{\bar{D}} (V) = 1 - p_{\bar{D}} (\bar{V}) = 0,95$ .
D'où l'arbre pondéré rendant compte de cette situation :
Montrer que la probabilité qu'un article fabriqué soit mis en vente après contrôle est 0,87.
Les évènements D et V sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales : $p (V) = p (V \cap D) + p (V \cap \bar{D})$
Or $\begin{array}{l} p (V \cap D) = p_{D} (V) \times p (D) & Soit & p (V \cap D) = 0,15 \times 0,1 = 0,015 \\ et & p (V \cap \bar{D}) = p_{\bar{D}} (V) \times p (\bar{D}) & Soit & p (V \cap \bar{D}) = 0,95 \times 0,9 = 0,855 \end{array}$
D'où, $\begin{array}{l} p (V) & = & p (V \cap D) + p (V \cap \bar{D}) \\ = & 0,015 + 0,855 \\ = & 0,87 \end{array}$
La probabilité qu'un article soit mis en vente après contrôle est $p (V) = 0,87$ .
Calculer la probabilité qu'un article mis en vente après contrôle soit défectueux.
Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement D sachant que l'évènement V est réalisé. $\begin{array}{l} p_{V} (D) = \frac{p (V \cap D)}{p (V)} & Soit & p_{V} (D) = \frac{0,015}{0,87} \approx 0,017 \end{array}$
Arrondie au millième, la probabilité qu'un article mis en vente après contrôle soit défectueux est 0,017.

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