contrôles en terminale ES

contrôle du 30 janvier 2010

Corrigé de l'exercice 3

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ]-12;+[ par f(x)=ln(2x+1)+x2x+1. Sa courbe représentative notée Cf est donnée ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer limx-12f(x) . Interpréter graphiquement ce résultat.

      • limx-122x+1=0+ et limX0ln(X)=- alors par composition, limx-12ln(2x+1)=-

      • D'autre part, limx-122x+1=0+ et limx-12x=-12 alors par quotient, limx-12x2x+1=-

      Donc par somme des limites, limx-12ln(2x+1)+x2x+1=-

      Ainsi, limx-12f(x)=-. Donc la courbe Cf admet pour asymtote la droite d'équation x=-12


    2. Calculer la limite de la fonction f en + :

      • limx+2x+1=+ et limX+ln(X)=+ alors par composition, limx+ln(2x+1)=+

      • D'autre part, limx+x2x+1=limx+x2x=12.

      Donc par somme des limites, limx+ln(2x+1)+x2x+1=+. Soit limx+f(x)=+.


  1. On note f la fonction dérivée de la fonction f

    1. Calculer f(x).

      • Sur l'intervalle ]-12;+[, la fonction g:xln(2x+1) est de la forme ln(u) avec u>0. g est dérivable sur cet intervalle et g=uu

        Soit pour tout réel x de l'intervalle ]-12;+[, g(x)=22x+1

      • Sur l'intervalle ]-12;+[, la fonction h:xx2x+1 est de la forme uv avec v0. h est dérivable sur cet intervalle et h=uv-uvv2

        Soit pour tout réel x de l'intervalle ]-12;+[, h(x)=2x+1-2x(2x+1)2=1(2x+1)2

      Ainsi, la fonction f est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables et pour tout réel x de l'intervalle ]-12;+[, f(x)=22x+1+1(2x+1)2=2(2x+1)+1(2x+1)2=4x+3(2x+1)2

      f est la fonction définie sur l'intervalle ]-12;+[ par f(x)=4x+3(2x+1)2


    2. Étudier le signe de f(x) suivant les valeurs du réel x.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]-12;+[, (2x+1)2>0 et 4x+3>0.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]-12;+[, f(x)>0


    3. En déduire les variations de f.

      Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée.

      La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]-12;+[.


  2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0 et la tracer sur le graphique.

    Une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0 est : y=f(0)×(x-0)+f(0)

    Or f(0)=ln1=0 et f(0)=3.

    Donc la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 0 a pour équation y=3x.


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Soit F la primitive de la fonction f définie sur l'intervalle ]-12;+[ telle que F(0)=0

    1. Étudier les variations de la fonction F.

      Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]-12;+[ signifie, que pour tout réel x de l'intervalle ]-12;+[, F(x)=f(x).

      Les variations de F se déduisent donc du signe de f sur l'intervalle ]-12;+[.

      Or la fonction f est strictement croissante et f(0)=0. Donc f(x)<0-12<x<0

      D'où le tableau établissant les variations de F d'après le signe de sa dérivée f.

      x-12 0 +
      f(x)   0||+ 
      F(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      0

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 
    2. En déduire le signe de F.

      D'après le tableau des variations, le minimum de la fonction F est atteint pour x=0 or F(0)=0

      Donc pour tout réel x de l'intervalle ]-12;+[, F(x)0.



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