On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle par . Sa courbe représentative notée est donnée ci-dessous.
Calculer . Interpréter graphiquement ce résultat.
et alors par composition,
D'autre part, et alors par quotient,
Donc par somme des limites,
Ainsi, . Donc la courbe admet pour asymtote la droite d'équation
Calculer la limite de la fonction f en :
et alors par composition,
D'autre part, .
Donc par somme des limites, . Soit .
On note la fonction dérivée de la fonction f
Calculer .
Sur l'intervalle , la fonction est de la forme avec . g est dérivable sur cet intervalle et
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Sur l'intervalle , la fonction est de la forme avec . h est dérivable sur cet intervalle et
Soit pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, la fonction f est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables et pour tout réel x de l'intervalle ,
est la fonction définie sur l'intervalle par
Étudier le signe de suivant les valeurs du réel x.
Pour tout réel x de l'intervalle , et .
Pour tout réel x de l'intervalle ,
En déduire les variations de f.
Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle .
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 et la tracer sur le graphique.
Une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 est :
Or et .
Donc la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation .
Soit F la primitive de la fonction f définie sur l'intervalle telle que
Étudier les variations de la fonction F.
Dire que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle signifie, que pour tout réel x de l'intervalle , .
Les variations de F se déduisent donc du signe de f sur l'intervalle .
Or la fonction f est strictement croissante et . Donc
D'où le tableau établissant les variations de F d'après le signe de sa dérivée f.
x | 0 | ||||||
− | + | ||||||
0 |
En déduire le signe de F.
D'après le tableau des variations, le minimum de la fonction F est atteint pour or
Donc pour tout réel x de l'intervalle , .
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