contrôles en terminale ES

contrôle du 24 septembre 2011

Corrigé de l'exercice 2

1. Calculer la dérivée de la fonction u définie sur $ℝ$ par $u (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$
  $u'$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $u' (x) = 6 x - 2$ .
2. Calculer la dérivée de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f (x) = \frac{1}{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$
  $f = \frac{1}{u^{2}}$ avec $u \neq 0$ d'où $f' = - \frac{2}{u^{3}} \times u'$ . Soit pour tout réel x, $f' (x) = - \frac{2}{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \times (6 x - 2)$
  Ainsi, $u'$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f' (x) = - \frac{4 (3 x - 1)}{{(3 x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .
1. Calculer la dérivée de la fonction u définie sur $] 0; + \infty [$ par $u (x) = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$
  $u'$ est la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $u' (x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^{2}}$ .
2. Calculer la dérivée de la fonction g définie sur $] 0; + \infty [$ par $g (x) = {(\frac{x}{2} - \frac{2}{x})}^{3}$
  $g = u^{3}$ d'où $g' = 3 u^{2} \times u'$ . Soit pour tout réel $x > 0$ , $\begin{matrix} g' (x) & = & 3 \times {(\frac{x}{2} - \frac{2}{x})}^{2} \times (\frac{1}{2} + \frac{2}{x^{2}}) \\ = & 3 \times {(\frac{x^{2} - 4}{2 x})}^{2} \times (\frac{x^{2} + 4}{2 x^{2}}) \\ = & \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{2} (x^{2} + 4)}{8 x^{4}} \end{matrix}$
  Ainsi, $g'$ est la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $g' (x) = \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{2} (x^{2} + 4)}{8 x^{4}}$ .
3. La fonction g admet-elle un extremum local en 2 ?
  Pour tout réel $x > 0$ nous avons : $\begin{matrix} {(x^{2} - 4)}^{2} ⩾ 0 & ; & x^{2} + 4 > 0 & et & 8 x^{4} > 0 \end{matrix}$
  Par conséquent, $g' (x) ⩾ 0$ sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ d'où
  g est une fonction croissante sur son ensemble de définition donc 2 n'est pas un extremum local de la fonction g.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.