contrôles en terminale ES

contrôle du 24 septembre 2011

Corrigé de l'exercice 3

Une entreprise fabrique et commercialise un certain produit. Sa capacité de production mensuelle est inférieure à 15 000 articles.
Soit x le nombre de milliers d'articles fabriqués chaque mois ; le coût de production exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction C définie pour tout x élément de l'intervalle [0;15] par :C(x)=16x2+11x+60x+14 La courbe représentative de la fonction C, notée CT, est donnée en annexe ci-dessous.

  1. Chaque article est vendu 8€, la recette mensuelle exprimée en milliers d'euros est donnée par R(x)=8x

    1. Tracer sur le graphique joint en annexe, la courbe D représentative de la fonction R.

      La courbe représentative de la fonction R est la droite D d'équation y=8x passant par l'origine du repère les point de coordonnées (15;120)

      Courbes représentatives des fonctions coûts et recette : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Par lecture graphique, déterminer :

      • les valeurs approximatives des bornes de l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
      • la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal.
      • L'entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la droite D est située au dessus de la courbe CT.

        Avec la précision permise par le dessin, l'entreprise réalise un bénéfice positif pour une production comprise entre 600 et 12000 articles.


      • Le bénéfice maximum est obtenu pour une production x0 de l'intervalle [6;12] telle que la distance entre la droite D et la courbe CT soit la plus grande possible.

        Le bénéfice maximal semble être obtenu pour une production de 5500 articles.


  2. Le bénéfice mensuel exprimé en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [0;15] par B(x)=R(x)-C(x).

    1. Calculer le montant en euros, du bénéfice si l'entreprise fabrique et vend 6000 articles un mois donné.

      B(6)=8×6-(16×36+11×6+606+14)=12,9

      Si l'entreprise fabrique et vend 6000 articles le bénéfice sera de 12900 €.


    2. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;15] on a B(x)=-8x2-224x+1474(x+14)2

      Pour tout réel x de l'intervalle [0;15], B(x)=8x-16x2+11x+60x+14=8x2+112x-16x2-11x-60x+14=-8x2+101x-60x+14

      La fonction B est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. B=uv d'où B=uv-uvv2 avec pour tout réel x[0;15], u(x)=-8x2+101x-60d'oùu(x)=-16x+101etv(x)=x+14d'oùv(x)=1

      Soit pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;15], B(x)=(-16x+101)×(x+14)-(-8x2+101x-60)(x+14)2=-16x2-224x+101x+1414+8x2-101x+60(x+14)2=-8x2-224x+1474(x+14)2

      Ainsi, B est la fonction définie sur l'intervalle [0;15] par B(x)=-8x2-224x+1474(x+14)2


    3. Étudier les variations de la fonction B.

      Pour tout réel x0, (x+14)2>0 par conséquent, B(x) est du même signe que le polynôme du second degré -8x2-224x+1474 sur l'intervalle [0;15].

      Le discriminant du trinôme est : Δ=(-224)2-4×(-8)×1474=97344=3122

      Le trinôme admet deux racines distinctes :x1=224-312-16=112etx2=224+312-16=-672

      Les variations de la fonction B se déduisent du signe de sa dérivée

       x  0  5,5  15 
      B(x) +0|| 
       B(x) fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 
    4. En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

      D'après le tableau des variations, la fonction B admet un maximum atteint pour x=5,5 et ce maximum est :B(5,5)=-8×5,52+101×5,5-6019,5=13

      Le bénéfice maximal est de 13000 € pour la production et la vente de 5500 unités.


  3. Le coût marginal de fabrication pour une production de x milliers d'articles est donné par C(x)C est la dérivée de la fonction C.
    Vérifier que si le bénéfice est maximal alors le coût marginal est égal au prix de vente d'un article.

    B(x)=R(x)-C(x) d'où B(x)=R(x)-C(x). Soit B(x)=8-C(x)

    Or le bénéfice maximal est obtenu pour x solution de l'équation B(x)=0 et B(x)=08-C(x)=0C(x)=8

    Ainsi, quand le bénéfice est maximal, le coût marginal est égal au prix de vente d'un article.


    remarque :

    Pour maximiser son profit, l'entreprise compare le prix de vente au coût marginal. Sur la « plage de rentabilité », tant que le prix de vente est supérieur au coût marginal, l'entreprise augmentera son profit en produisant davantage. Si, au contraire, le coût marginal est supérieur au prix de vente, la production d'une unité supplémentaire diminuera le bénéfice.
    Le niveau de production qui maximise le bénéfice est celui pour lequel le coût marginal est égal au prix de vente.


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