contrôle du 26 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 2

1. 1. Calculer la valeur estimée du taux d'endettement des ménages en 2009.

      $$f\left(9\right)=-\mathrm{0,04}\times 9^3+\mathrm{0,68}\times 9^2-\mathrm{0,06}\times 9+\mathrm{51,4}=\mathrm{76,78}$$

      Avec ce modèle, le taux d'endettement des ménages en 2009 est estimé à 76,78 %.

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   2. Calculer le pourcentage d'erreur par rapport au taux réel d'endettement des ménages en 2009.

      $${\displaystyle \frac{\mathrm{76,78}-\mathrm{75,7}}{\mathrm{75,7}}}\times 100\approx \mathrm{1,4}$$

      Avec ce modèle, le taux d'endettement des ménages en 2009 est surestimé d'environ 1,4 %.

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2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et $f″\left(x\right)$.

      • $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -3\times \mathrm{0,04}{x}^2+2\times \mathrm{0,68}x-\mathrm{0,06}\hfill \\ & =& -\mathrm{0,12}{x}^2+\mathrm{1,36}x-\mathrm{0,06}\hfill \end{array}$$

        La dérivée $f\prime$ est définie sur $\left[0;11\right]$ par $f\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,12}{x}^2+\mathrm{1,36}x-\mathrm{0,06}$

        ---

      • $$\begin{array}{ccc}f″\left(x\right)& =& -2\times \mathrm{0,12}x+\mathrm{1,36}\hfill \\ & =& -\mathrm{0,24}x+\mathrm{1,36}\hfill \end{array}$$

        La dérivée seconde $f″$ est définie sur $\left[0;11\right]$ par $f″\left(x\right)=-\mathrm{0,24}x+\mathrm{1,36}$

        ---

   2. Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$. Or $$-\mathrm{0,24}x+\mathrm{1,36}⩽0\iff x⩾{\displaystyle \frac{17}{3}}$$

      x	0		${\displaystyle \frac{17}{3}}$		11
      Signe de $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Convexité de f		f est convexe		f est concave

      ---

      La fonction f est convexe sur l'intervalle $\left[0;{\displaystyle \frac{17}{3}}\right]$ et concave sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{17}{3}};11\right]$.

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   3. La courbe $C_f$ a-t-elle un point d'inflexion ?

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x={\displaystyle \frac{17}{3}}$ donc

      La courbe $C_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse ${\displaystyle \frac{17}{3}}$.

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3. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Le rythme de croissance instantané du taux d'endettement est assimilé à la dérivée de la fonction f. Au cours de quelle année, le rythme de croissance du taux d'endettement a-t-il commencé à diminuer ?

   Les variations de la fonction $f\prime$ se déduisent du signe de sa dérivée $f″$.

   x	0		${\displaystyle \frac{17}{3}}$		11
   $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\prime \left(x\right)$

   $f\prime$ est décroissante sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{17}{3}};11\right]$ et $5<{\displaystyle \frac{17}{3}}<6$ donc :

   Le rythme de croissance du taux d'endettement a commencé à diminuer au cours de l'année 2006.

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