contrôles en terminale ES

contrôle du 26 octobre 2012

thèmes abordés

  • Convexité, point d'inflexion.
  • Théorème de la valeur intermédiaire.
  • Coût moyen.

exercice 1

Soit f une fonction deux fois dérivable sur sur . On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde.
La courbe représentative de la fonction dérivée notée Cf est donnée ci dessous.
La droite T est tangente à la courbe Cf au point d'abscisse 0.

Courbe représentative de la fonction f' : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Par lecture graphique :

    1. Résoudre fx=0

    2. Résoudre fx=0

    3. Déterminer f0

  2. Une des quatre courbes C1, C2, C3 et C4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde f.

    Courbe représentative de la fonction f1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative de la fonction f2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    Courbe représentative de la fonction f3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative de la fonction f4 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente la dérivée seconde f

    2. Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave.

    3. La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d'inflexion ?


exercice 2

Le tableau ci-dessous représente l'évolution du taux d'endettement des ménages, en pourcentage du revenu disponible brut, en France de 2001 à 2010.

Source : INSEE
Année2001200220032004200520062007200820092010
Rang de l'année : xi12345678910
Taux d'endettement yi52,253,255,658,663,467,470,973,575,778,9

Une estimation de l'évolution du taux d'endettement des ménages est modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle 011 par fx=-0,04x3+0,68x2-0,06x+51,4x est le nombre d'années écoulées depuis 2000.
Ainsi, le taux d'endettement des ménages en % à la fin du premier semestre 2003 est estimé par f2,5.

Nuage de points, courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer la valeur estimée du taux d'endettement des ménages en 2009.

    2. Calculer le pourcentage d'erreur par rapport au taux réel d'endettement des ménages en 2009.

    1. Calculer fx et fx.

    2. Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave.

    3. La courbe Cf a-t-elle un point d'inflexion ?

  1. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

    Le rythme de croissance instantané du taux d'endettement est assimilé à la dérivée de la fonction f.
    Au cours de quelle année, le rythme de croissance du taux d'endettement a-t-il commencé à diminuer ?


exercice 3

Une entreprise produit et commercialise un article A. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 12 milliers d'articles.
Soit CT la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle 012 par :CTx=x3+x2+363 La fonction CT modélise sur l'intervalle 012 le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.
La courbe représentative de la fonction coût total, notée 𝒞T, est donnée ci-dessous :

Courbe représentative de la fonction coût : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

  1. Justifier que la fonction CT est strictement croissante.

  2. Montrer que l'équation CTx=2000 admet une unique solution.

  3. L'entreprise souhaite limiter son coût de production mensuel à 2000 milliers d'euros.
    Quel est, arrondi à la centaine d'articles près, le nombre maximal d'articles qu'elle peut produire chaque mois ?

partie b

On note CMx le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué.
On rappelle que CMx=CTxx avec x012.

    1. Placer le point A sur la courbe 𝒞T tel que la droite (OA) soit tangente à 𝒞T. On appelle a l'abscisse du point A.

    2. Conjecturer graphiquement les variations de CM sur l'intervalle 012.

  1. Écrire l'expression de CMx en fonction de x.

  2. On admet que la fonction CM est dérivable sur l'intervalle 012 et on appelle CM sa fonction dérivée.
    Calculer CMx et vérifier que CMx=2x-11x2+6x+33x2 pour tout x de l'intervalle 012.

  3. Étudier les variations de la fonction CM sur 012.

  4. Le coût marginal Cm est assimilé à la dérivée du coût total.
    Vérifier que, lorsque le coût moyen est minimum, le coût marginal est égal au coût moyen.



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