contrôle du 26 octobre 2012

Exercice 1

Soit f une fonction deux fois dérivable sur sur $ℝ$. On note $f\prime$ sa dérivée et $f″$ sa dérivée seconde.
La courbe représentative de la fonction dérivée notée $C_{f\prime }$ est donnée ci dessous.
La droite T est tangente à la courbe $C_{f\prime }$ au point d'abscisse 0.

1. Par lecture graphique :

   1. Résoudre $f\prime \left(x\right)=0$

   2. Résoudre $f″\left(x\right)=0$

   3. Déterminer $f″\left(0\right)$

2. Une des quatre courbes $C_1$, $C_2$, $C_3$ et $C_4$ ci-dessous est la courbe représentative de la fonction f et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde $f″$.

   1. Déterminer la courbe qui représente f et celle qui représente la dérivée seconde $f″$

   2. Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave.

   3. La courbe représentative de la fonction f admet-elle un point d'inflexion ?

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Exercice 2

Le tableau ci-dessous représente l'évolution du taux d'endettement des ménages, en pourcentage du revenu disponible brut, en France de 2001 à 2010.

Source : INSEE

Année	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Rang de l'année : $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Taux d'endettement $y_i$	52,2	53,2	55,6	58,6	63,4	67,4	70,9	73,5	75,7	78,9

Une estimation de l'évolution du taux d'endettement des ménages est modélisée par la fonction f définie sur l'intervalle $\left[0;11\right]$ par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,04}{x}^3+\mathrm{0,68}{x}^2-\mathrm{0,06}x+\mathrm{51,4}$ où x est le nombre d'années écoulées depuis 2 000.
Ainsi, le taux d'endettement des ménages en % à la fin du premier semestre 2003 est estimé par $f\left(\mathrm{2,5}\right)$.

1. 1. Calculer la valeur estimée du taux d'endettement des ménages en 2009.

   2. Calculer le pourcentage d'erreur par rapport au taux réel d'endettement des ménages en 2009.

2. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et $f″\left(x\right)$.

   2. Déterminer les intervalles sur lesquels f est convexe ou concave.

   3. La courbe $C_f$ a-t-elle un point d'inflexion ?

3. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Le rythme de croissance instantané du taux d'endettement est assimilé à la dérivée de la fonction f.
   Au cours de quelle année, le rythme de croissance du taux d'endettement a-t-il commencé à diminuer ?

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Exercice 3

Une entreprise produit et commercialise un article A. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 12 milliers d'articles.
Soit $C_T$ la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle $\left[0;12\right]$ par :$$C_T\left(x\right)=x^3+x^2+363$$ La fonction $C_T$ modélise sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.
La courbe représentative de la fonction coût total, notée ${𝒞}_T$, est donnée ci-dessous :

partie a

1. Justifier que la fonction $C_T$ est strictement croissante.

2. Montrer que l'équation $C_T\left(x\right)=\mathrm{2 000}$ admet une unique solution.

3. L'entreprise souhaite limiter son coût de production mensuel à 2 000 milliers d'euros.
   Quel est, arrondi à la centaine d'articles près, le nombre maximal d'articles qu'elle peut produire chaque mois ?

partie b

On note $C_M\left(x\right)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué.
On rappelle que $C_M\left(x\right)={\displaystyle \frac{C_T\left(x\right)}{x}}$ avec $x\in \left]0;12\right]$.

1. 1. Placer le point A sur la courbe ${𝒞}_T$ tel que la droite (OA) soit tangente à ${𝒞}_T$. On appelle a l'abscisse du point A.

   2. Conjecturer graphiquement les variations de $C_M$ sur l'intervalle $\left]0;12\right]$.

2. Écrire l'expression de $C_M\left(x\right)$ en fonction de x.

3. On admet que la fonction $C_M$ est dérivable sur l'intervalle $\left]0;12\right]$ et on appelle $C_M\prime$ sa fonction dérivée.
   Calculer $C_M^{}\prime \left(x\right)$ et vérifier que $C_M\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(2x-11\right)\left(x^2+6x+33\right)}{x^2}}$ pour tout x de l'intervalle $\left]0;12\right]$.

4. Étudier les variations de la fonction $C_M$ sur $\left]0;12\right]$.

5. Le coût marginal $C_m$ est assimilé à la dérivée du coût total.
   Vérifier que, lorsque le coût moyen est minimum, le coût marginal est égal au coût moyen.

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