contrôles en terminale ES

contrôle du 26 octobre 2012

Corrigé de l'exercice 3

Une entreprise produit et commercialise un article A. Sa capacité de production mensuelle est limitée à 12 milliers d'articles.
Soit $C_{T}$ la fonction définie pour tout réel x élément de l'intervalle $[0; 12]$ par : $C_{T} (x) = x^{3} + x^{2} + 363$ La fonction $C_{T}$ modélise sur l'intervalle $[0; 12]$ le coût total de production exprimé en milliers d'euros, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.
La courbe représentative de la fonction coût total, notée $𝒞_{T}$ , est donnée ci-dessous .

partie a

Justifier que la fonction $C_{T}$ est strictement croissante.
Sur $[0; + \infty [$ , la fonction cube et la fonction $x ⟼ x^{2} + 363$ sont strictement croissantes.
La fonction $C_{T}$ est strictement croissante comme somme de fonctions strictement croissantes.
Montrer que l'équation $C_{T} (x) = 2 000$ admet une unique solution.
$\begin{matrix} C_{T} (0) = 363 & et & C_{T} (12) = 12^{3} + 12^{2} + 363 = 2235 \end{matrix}$
Sur l'intervalle $[0; 12]$ , la fonction $C_{T}$ est dérivable donc continue, strictement croissante et $C_{T} (0) < 2 000 < C_{T} (12)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . :
l'équation $C_{T} (x) = 2 000$ admet une unique solution α.
L'entreprise souhaite limiter son coût de production mensuel à 2 000 milliers d'euros.
Quel est, arrondi à la centaine d'articles près, le nombre maximal d'articles qu'elle peut produire chaque mois ?
La fonction $C_{T}$ est strictement croissante donc $C_{T} (x) ⩽ 2 000 \Leftrightarrow x ⩽ α$
Or avec la calculatrice, on trouve $α \approx 11,46$ .
Pour limiter son coût de production mensuel à 2 000 milliers d'euros, l'entreprise devra produire au maximum 11 400 articles.

partie b

On note $C_{M} (x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. On rappelle que $C_{M} (x) = \frac{C_{T} (x)}{x}$ avec $x \in] 0; 12]$ .

1. Placer le point A sur la courbe $𝒞_{T}$ tel que la droite (OA) soit tangente à $𝒞_{T}$ . On appelle a l'abscisse du point A.
2. Conjecturer graphiquement les variations de $C_{M}$ sur l'intervalle $] 0; 12]$ .
  Pour tout point $M (x; C_{T} (x))$ de la courbe $𝒞_{T}$ (avec $x \neq 0$ ), le coefficient directeur de la droite (OM) est : $\frac{C_{T} (x)}{x} = C_{M} (x)$ Graphiquement, le coût moyen de production est minimal pour l'abscisse a du point A de la courbe $𝒞_{T}$ tel que la droite (OA) soit tangente à la courbe $𝒞_{T}$ .
  Avec la précision permise par la représentation graphique, il semblerait que la fonction $C_{M}$ soit décroissante sur l'intervalle $] 0; 5,5]$ et croissante sur $] 5,5; 12]$
Écrire l'expression de $C_{M} (x)$ en fonction de x.
Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 12]$ , $C_{M} (x) = \frac{x^{3} + x^{2} + 363}{x} = x^{2} + x + \frac{363}{x}$
$C_{M}$ est la fonction définie sur l'intervalle $] 0; 12]$ par $C_{M} (x) = x^{2} + x + \frac{363}{x}$
On admet que la fonction $C_{M}$ est dérivable sur l'intervalle $] 0; 12]$ et on appelle $C_{M}'$ sa fonction dérivée.
Calculer $C_{M}' (x)$ et vérifier que $C_{M}^{}' (x) = \frac{(2 x - 11) (x^{2} + 6 x + 33)}{x^{2}}$ pour tout x de l'intervalle $] 0; 12]$ .
Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 12]$ , $C_{M}' (x) = 2 x + 1 - \frac{363}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} + x^{2} - 363}{x^{2}}$
Or pour tout réel x, $\begin{matrix} (2 x - 11) (x^{2} + 6 x + 33) & = & 2 x^{3} + 12 x^{2} + 66 x - 11 x^{2} - 66 x - 363 \\ = & 2 x^{3} + x^{2} - 363 \end{matrix}$
Ainsi, $C_{M}'$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 12]$ par $C_{M}' (x) = \frac{(2 x - 11) (x^{2} + 6 x + 33)}{x^{2}}$ .

Étudier les variations de la fonction $C_{M}$ sur $] 0; 12]$ .

Le discriminant du polynôme du second degré $x^{2} + 6 x + 33$ est : $Δ = 36 - 4 \times 33 = - 96$

$Δ < 0$ donc pour tout réel x, $x^{2} + 6 x + 33 > 0$ . Par conséquent, sur l'intervalle $] 0; 12]$ , $C_{M}' (x)$ est du même signe que $2 x - 11$ .

Les variations de la fonction $C_{M}$ se déduisent du signe de sa dérivée :

x	0		$\frac{11}{2}$		12
$C_{M}' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$C_{M} (x)$			101,75

Le coût moyen minimal est obtenu pour une production mensuelle de 5 500 articles et $C_{M} (5,5) = {5,5}^{2} + 5,5 + \frac{363}{5,5} = 101,75$

Le coût marginal $C_{m}$ est assimilé à la dérivée du coût total.
Vérifier que, lorsque le coût moyen est minimum, le coût marginal est égal au coût moyen.
Le coût moyen est défini sur $] 0; 12]$ par $C_{M} (x) = \frac{C_{T} (x)}{x}$ donc $\begin{matrix} C_{M}' (x) = \frac{C_{T}' (x) \times x - C_{T} (x)}{x^{2}} & Soit & C_{M}' (x) = \frac{C_{m} (x) \times x - C_{T} (x)}{x^{2}} \end{matrix}$
Or $C_{M}' (5,5) = 0$ donc $\begin{matrix} C_{m} (5,5) \times 5,5 - C_{T} (5,5) = 0 & \Leftrightarrow & C_{m} (5,5) = \frac{C_{T} (5,5)}{5,5} = C_{M} (5,5) \end{matrix}$
Ainsi, lorsque le coût moyen est minimum, le coût marginal est égal au coût moyen.

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