contrôle du 21 décembre 2012

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}$.

partie a

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=1$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}& \iff & 2x-\mathrm{0,5}{x}^2=0\hfill \\ & \iff & x\left(2-\mathrm{0,5}x\right)=0\hfill \\ & \iff & x=0\text{ ou }x=4\hfill \end{array}$$

   L'ensemble S des solutions de l'équation $f\left(x\right)=1$ est $S=\left\{0;4\right\}$

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2. 1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel x, on pose $u\left(x\right)=2x-\mathrm{0,5}{x}^2$. La fonction u est dérivable sur $ℝ$ et pour tout réel x, $u\prime \left(x\right)=2-x$.

      Par conséquent, la fonction $f={\mathrm{e}}^u$ est dérivable sur $ℝ$ et $f\prime =u\prime {\mathrm{e}}^u$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}$.

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}>0$. Donc $f\prime$ est du même signe que $\left(2-x\right)$

      D'où le tableau de variations de f :

      x	$-\infty$		2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			${\mathrm{e}}^2$

      ---

      Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=2$ et $f\left(2\right)={\mathrm{e}}^{2\times 2-\mathrm{0,5}\times 2^2}={\mathrm{e}}^2$

3. 1. On note $f″$ la dérivée seconde de la fonction f. Calculer $f″\left(x\right)$.

      $f\prime \left(x\right)$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f\prime =uv$ d'où $f″=u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=2-x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=\left(2-x\right){\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f″\left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}+{\left(2-x\right)}^2\times {\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill \\ & =& \left({\left(2-x\right)}^2-1\right)\times {\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill \\ & =& \left(1-x\right)\left(3-x\right){\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill \end{array}$$

      $f″$ est la fonction définie pour tout réel x par $f″\left(x\right)=\left(1-x\right)\left(3-x\right){\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}$

      ---

   2. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde. Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{2x-\mathrm{0,5}{x}^2}>0$. Donc $f″$ est du même signe que le polynôme du second degré $\left(1-x\right)\left(3-x\right)$. Soit

      x	$-\infty$		1		3		$+\infty$
      Signe de $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      ---

      La fonction f est convexe sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;1\right]$ ou $\left[3;+\infty \right[$ et concave sur l'intervalle $\left[1;3\right]$.

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partie b

On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f.

1. 1. Montrer que la courbe $C_f$ admet deux points d'inflexion A et B.

      D'après l'étude du signe de $f″\left(x\right)$ la dérivée seconde s'annule deux fois en changeant de signe donc

      la courbe $C_f$ admet deux points d'inflexion A et B d'abscisses respectives 1 et 3.

      ---

   2. Dans le graphique donné en annexe, on a tracé la tangente $T_B$ à la courbe $C_f$ au point B dans le plan muni d'un repère orthogonal.
      Calculer les coordonnées du point B.

      $$f\left(3\right)={\mathrm{e}}^{2\times 3-\mathrm{0,5}\times 3^2}={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}$$

      Le point B a pour coordonnées $B\left(3;{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\right)$

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   3. Montrer que la tangente $T_A$ à la courbe $C_f$ au point A passe par l'origine du repère.

      L'abscisse du point d'inflexion A est égale à 1. Une équation de la tangente $T_A$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

      Avec $$\begin{array}{ccc}f\left(1\right)={\mathrm{e}}^{2-\mathrm{0,5}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}& \text{et}& f\prime \left(1\right)=\left(2-1\right)\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\end{array}$$ D'où $$\begin{array}{ccc}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\times \left(x-1\right)+{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}x\end{array}$$

      La tangente $T_A$ à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\right)$ a pour équation $y={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}x$. Cette droite passe par l'origine du repère.

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2. Déterminer une équation de la tangente D à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Avec $$\begin{array}{ccc}f\left(0\right)=1& \text{et}& f\prime \left(0\right)=2\end{array}$$ D'où $$y=2x+1$$

   La tangente D à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=2x+1$.

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3. Dans le graphique donné en annexe, tracer les tangentes $T_A$ et D puis représenter la courbe $C_f$.

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