contrôles en terminale ES

contrôle du 21 décembre 2012

Corrigé de l'exercice 2

Une agence de location de voitures propose trois types de véhicules cabriolet, utilitaire ou prestige.
Une assurance facultative correspondant à une suppression totale de franchise en cas de dommage est proposée au moment de la location.

Une étude statistique a permis d'établir que :

  • 60 % des clients louent un cabriolet et 10% louent un véhicule de prestige.
  • 21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont souscrit un contrat d'assurance.
  • 40 % des clients qui ont loué un cabriolet souscrivent un contrat d'assurance.
  • 54 % des clients souscrivent un contrat d'assurance.

On prélève au hasard la fiche d'un client et on considère les évènements suivants :

  • C l'évènement « le client a loué un cabriolet ».
  • P l'évènement « le client a loué un véhicule de prestige ».
  • U l'évènement « le client a loué un véhicule utilitaire ».
  • A l'évènement « le client a souscrit un contrat d'assurance ».
    1. Calculer la probabilité que la fiche soit celle d'un client ayant loué un véhicule utilitaire.

      60 % des clients louent un cabriolet et 10% louent un véhicule de prestige d'où p(C)=0,6 et p(P)=0,1.

      Or p(C)+p(U)+p(P)=1doncp(U)=1-0,6-0,1=0,3

      La probabilité que la fiche soit celle d'un client ayant loué un véhicule utilitaire est égale à 0,3.


    2. La fiche est celle d'un client ayant loué un véhicule utilitaire. Déterminer la probabilité qu'il ait souscrit un contrat d'assurance.

      Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement U est réalisé.

      21 % des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont souscrit un contrat d'assurance donc p(UA)=0,21.

      D'où : pU(A)=p(UA)p(U)soitpU(A)=0,210,3=0,7

      La probabilité qu'un client ayant loué un véhicule utilitaire ait souscrit un contrat d'assurance est égale à 0,7.


    1. Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement PA.

      PA est l'évènement « le client a loué un véhicule utilitaire et a souscrit un contrat d'assurance ».


    2. Montrer que p(PA)=0,09

      Les évènements C, P et U déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :A1,A2,,An  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : p(B)=p(BA1)+p(BA2)++p(BAn)
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :p(B)=p(BA)+p(BA¯)
      p(A)=p(CA)+p(PA)+p(UA)p(PA)=p(A)-p(CA)-p(UA)

      Or 40 % des clients qui ont loué un cabriolet souscrivent un contrat d'assurance. D'où p(CA)=pC(A)×p(C)soitp(CA)=0,4×0,6=0,24

      Donc p(PA)=0,54-0,24-0,21=0,09

      La probabilité qu'un client a loué un véhicule utilitaire et a souscrit un contrat d'assurance est égale à 0,09.


    3. En déduire la probabilité qu'un client ayant loué un véhicule de prestige ait souscrit un contrat d'assurance.

      pP(A)=p(PA)p(P)soitpP(A)=0,090,1=0,9

      La probabilité qu'un client ayant loué un véhicule de prestige ait souscrit un contrat d'assurance est égale à 0,9.


  1. Déterminer la probabilité que la fiche soit celle d'un client ayant loué un véhicule de prestige sachant qu'il a souscrit un contrat d'assurance.

    pA(P)=p(PA)p(A)soitpP(A)=0,090,54=16

    La probabilité qu'un client ayant souscrit un contrat d'assurance loue un véhicule de prestige est égale à 16.


  2. Cinq clients rendent leur véhicule. Quelle est la probabilité que trois d'entre eux aient souscrit un contrat d'assurance ?

    Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui ont souscrit un contrat d'assurance. La loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramètres 5 et 0,54.
    La probabilité que trois clients aient souscrit un contrat d'assurance est : p(X=3)=(53)×0,543×(1-0,54)20,333

    La probabilité que parmi les cinq clients qui rendent leur véhicule trois ont souscrit un contrat d'assurance est 0,333.



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