contrôle du 28 septembre 2013

Corrigé de l'exercice 1

1. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(-1\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

   • La courbe $C_f$ admet au point $B\left(-1;\mathrm{1,5}\right)$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses donc le nombre dérivé $f\prime \left(-1\right)=0$

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   • Le nombre dérivé $f\prime \left(2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $B\left(2;0\right)$ or cette tangente passe également par le point de coordonnées $\left(0;2\right)$ d'où $$f\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{0-2}{2-0}}=-1$$

     Ainsi, $f\prime \left(2\right)=-1$

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2. Les courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ sont les représentations graphiques des fonctions $f\prime$, $g\prime$ et $h\prime$. Associer à chacune des fonctions dérivées $f\prime$, $g\prime$ et $h\prime$ sa courbe représentative.

   Les variations d'une fonction se déduisent du signe de sa dérivée :

   Courbe $C_1$ La dérivée est négative sur $ℝ$. C'est la dérivée d'une fonction décroissante sur $ℝ$.	Courbe $C_2$ La dérivée est négative sur $\left]-\infty ;\mathrm{3,5}\right]$. C'est la dérivée d'une fonction décroissante sur $\left]-\infty ;\mathrm{3,5}\right]$.	Courbe $C_3$ La dérivée est positive sur $\left]-\infty ;-1\right]$. C'est la dérivée d'une fonction croissante sur $\left]-\infty ;-1\right]$.
   $C_1$ est la courbe représentative de la fonction $h\prime$	$C_2$ est la courbe représentative de la fonction $f\prime$	$C_3$ est la courbe représentative de la fonction $g\prime$

3. Laquelle des trois fonctions f , g ou h a pour dérivée seconde la fonction k dont le signe en fonction du réel x est donné par le tableau ci-dessous ?

   x	$-\infty$		2		$+\infty$
   $k\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   L'étude de la convexité d'une fonction se déduit du signe de sa dérivée seconde.

   La fonction k est la dérivée seconde d'une fonction concave sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$.

   La fonction g est la seule des trois fonctions dont la dérivée seconde a le même signe que la fonction k.

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