contrôles en terminale ES

contrôle du 28 septembre 2013

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0;+[ par f(x)=2x2+x-1x2 .
On note Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.

  1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection éventuels de la courbe Cf avec l'axe des abscisses.

    Les abscisses des points d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation f(x)=0. Soit les réels x]0;+[ tels que 2x2+x-1=0.

    Cherchons les solutions de l'équation du second degré 2x2+x-1=0 avec a=2, b=1 et c=-1.
    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=1+8=9

    Δ>0 donc l'équation a deux solutions : x1=-b-Δ2aSoitx1=-1-34=-1etx2=-b+Δ2aSoitx2=-1+34=12

    Or -1]0;+[ donc

    la courbe Cf coupe l'axe des abscisses en un seul point de coordonnées (12;0)


  2. On note f la dérivée de la fonction f.

    1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0;+[, f(x)=2-xx3.

      f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x]0;+[ : {u(x)=2x2+x-1d'oùu(x)=4x+1 et v(x)=x2 d'où v(x)=2x

      Soit pour tout réel x strictement positif, f(x)=(4x+1)×(x2)-2x×(2x2+x-1)(x2)2=4x3+x2-4x3-2x2+2xx4=-x2+2xx4=x×(2-x)x4(x0)=2-xx3

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=2-xx3.


    2. Donner le tableau des variations de f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Comme sur l'intervalle ]0;+[ le quotient 2-xx3 est du même signe que 2-x, nous pouvons établir le tableau du signe de la dérivée ainsi que les variations de la fonction f :

      x02+
      f(x)+0||
      f(x) fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      94

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      calcul du maximum

      f(2)=2×4+2-14=94

    1. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f définie sur l'intervalle ]0;+[ par : f(x)=-x3-3x2×(2-x)(x3)2=-x3-6x2+3x3x6=2x3-6x2x6=x2×(2x-6)x6=2x-6x4

      Ainsi, la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=2x-6x4. Sur cet intervalle, f(x) est du même signe que 2x-6

      x03+
      Signe de f(x)0||+
      Convexité de f

      f est concave

       

      f est convexe

       

      La fonction f est concave sur l'intervalle ]0;3] et convexe sur l'intervalle [3;+[.


    2. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d'inflexion ?

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=3 donc :

      la courbe Cf admet un point d'inflexion d'abscisse 3.


  3. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Montrer que l'équation f(x)=12 admet une solution unique α dans l'intervalle [1;2]. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 10− 2 près, de α.

    Sur l'intervalle [1;2], f(x)<0 donc la fonction f est continue et strictement décroissante. D'autre part, f(1)=1etf(2)=0

    Sur l'intervalle [1;2], la fonction f est continue, strictement décroissante et f(2)<12<f(1) alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique α située dans l'intervalle [a;b].

    l'équation f(x)=12 admet une unique solution α[1;2]. À l'aide de la calculatrice, on trouve α1,18



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