contrôle du 28 septembre 2013

Corrigé de l'exercice 3

En 2012, la population d’une ville était de 40 000 habitants. Une étude portant sur l'évolution démographique, a permis d'établir que chaque année, 8 % des habitants quittent la ville et 4 000 nouvelles personnes emménagent.
On note $u_n$ le nombre de milliers d’habitants de cette ville l’année 2012 + n ; on a donc $u_0=40$.

1. Selon ce modèle, à combien peut-on évaluer la population de cette ville en 2013 ?

   En 2013, 8 % des habitants quittent la ville et 4 000 nouvelles personnes emménagent d'où :$$40000\times \mathrm{0,92}+4000=40800$$

   En 2013, la population de la ville est estimée à 40 800 habitants

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2. Justifier que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,92}\times u_n+4$.

   D'une année sur l'autre, 92% des habitants ne quittent pas la ville auxquels s'ajoutent 4 milliers de nouveaux résidents d'où :

   Pour tout entier n, $u_{n+1}=\mathrm{0,92}{u}_n+4$

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3. On considère l'algorithme suivant :

   Initialisation :	Affecter à N la valeur 0
   	Affecter à U la valeur 40
   Traitement :	Tant_que$U<\mathrm{44}$ :
   	Affecter à N la valeur $N+1$ Affecter à U la valeur $\mathrm{0,92}\times U+4$
   	Fin Tant_que
   Sortie :	Afficher N

   Recopier et compléter le tableau suivant autant que nécessaire en arrondissant les résultats au millième près. Quel nombre obtient-on en sortie de l'algorithme? Interpréter ce résultat.

   N	0	1	2	3	4	5	6	7
   U	40	40,800	41,536	42,213	42,836	43,409	43,936	44,422
   Test $U<\mathrm{44}$	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	FAUX

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   Le nombre affiché en sortie de l'algorithme est 7. C'est 2019 que la population de cette ville dépassera 44 000 habitants.

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4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-50$.

   1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-50\\ & =& \mathrm{0,92}{u}_n+4-50\\ & =& \mathrm{0,92}{u}_n-46\\ & =& \mathrm{0,92}\times \left(u_n-50\right)\\ & =& \mathrm{0,92}{v}_n\end{array}$$

      Pour tout entier n, $v_{n+1}=\mathrm{0,92}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92. D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{v}_0=u_0-50& \text{soit}& v_0=40-50=-10\end{array}$$

      Ainsi, $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme $v_0=-10$.

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   2. Exprimer $v_n$, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n=50-10\times {\mathrm{0,92}}^n$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme $v_0=-10$ alors pour tout entier n, $v_n=-10\times {\mathrm{0,92}}^n$

      D'autre part, pour tout entier n, $v_n=u_n-50$ d'où $u_n=v_n+50$.

      Donc pour tout entier n, $u_n=50-10\times {\mathrm{0,92}}^n$.

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5. Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}-u_n& =& \left(50-10\times {\mathrm{0,92}}^{n+1}\right)-\left(50-10\times {\mathrm{0,92}}^n\right)\\ & =& -10\times {\mathrm{0,92}}^{n+1}+10\times {\mathrm{0,92}}^n\\ & =& 10\times {\mathrm{0,92}}^n\times \left(-\mathrm{0,92}+1\right)\\ & =& \mathrm{0,8}\times {\mathrm{0,92}}^n\end{array}$$

   Or pour tout entier n, ${\mathrm{0,92}}^n>0$, d'où $u_{n+1}-u_n>0$.

   Pour tout entier n, $u_{n+1}-u_n>0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

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6. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat.

   $0<\mathrm{0,92}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,92}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }50-10\times {\mathrm{0,92}}^n=50$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=50$.

   $\left(u_n\right)$ est une suite croissante qui converge vers 50. Par conséquent, la population de cette ville ne devrait pas dépasser 50 000 habitants.

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