En raison de l'évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d'eau.
On remplit un bassin avec 90 m3 d'eau et, pour compenser la perte due à l'évaporation, on décide de rajouter chaque semaine 2,4 m3 d'eau dans le bassin.
On note le nombre de m3 d'eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines. On a donc et, pour tout entier naturel n, .
On considère la suite définie pour tout entier naturel n par .
Démontrer que est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout entier n,
Pour tout entier n, donc est une suite géométrique de raison 0,97. D'autre part,
Ainsi, est une suite géométrique de raison 0,97 et de premier terme .
Exprimer en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, .
est une suite géométrique de raison 0,97 et de premier terme alors pour tout entier n,
D'autre part, pour tout entier n, d'où .
Donc pour tout entier n, .
Étudier la monotonie de la suite .
Pour tout entier n,
Or pour tout entier n, , d'où .
Pour tout entier n, donc la suite est strictement décroissante.
Déterminer la limite de la suite . Interpréter ce résultat.
donc d'où, . Soit .
est une suite décroissante qui converge vers 80. Par conséquent, au bout d'un certain nombre de semaines, la quantité d'eau contenue dans le bassin sera proche de 80 m3.
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