contrôles en terminale ES

contrôle du 15 octobre 2013

Corrigé de l'exercice 1

En raison de l'évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d'eau.
On remplit un bassin avec 90 m3 d'eau et, pour compenser la perte due à l'évaporation, on décide de rajouter chaque semaine 2,4 m3 d'eau dans le bassin.
On note un le nombre de m3 d'eau contenu dans ce bassin au bout de n semaines. On a donc u0=90 et, pour tout entier naturel n, un+1=0,97×un+2,4.

  1. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn=un-80.

    1. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-80=0,97un+2,4-80=0,97un-77,6=0,97×(un-80)=0,97vn

      Pour tout entier n, vn+1=0,97vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,97. D'autre part, v0=u0-80soitv0=90-80=10

      Ainsi, (vn) est une suite géométrique de raison 0,97 et de premier terme v0=10.


    2. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=80+10×0,97n.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,97 et de premier terme v0=10 alors pour tout entier n, vn=10×0,97n

      D'autre part, pour tout entier n, vn=un-80 d'où un=vn+80.

      Donc pour tout entier n, un=80+10×0,97n.


  2. Étudier la monotonie de la suite (un).

    Pour tout entier n, un+1-un=(80+10×0,97n+1)-(80+10×0,97n)=10×0,97n+1-10×0,97n=10×0,97n×(0,97-1)=-0,03×0,97n

    Or pour tout entier n, 0,97n>0, d'où un+1-un<0.

    Pour tout entier n, un+1-un<0 donc la suite (un) est strictement décroissante.


  3. Déterminer la limite de la suite (un). Interpréter ce résultat.

    0<0,97<1 donc limn+0,97n=0 d'où, limn+80+10×0,97n=80. Soit limn+un=80.

    (un) est une suite décroissante qui converge vers 80. Par conséquent, au bout d'un certain nombre de semaines, la quantité d'eau contenue dans le bassin sera proche de 80 m3.



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