contrôle du 07 mars 2015

Corrigé de l'exercice 1

En 2014, le parc informatique d'une entreprise était de 200 ordinateurs.
Pour renouveler ce parc et tenir compte des besoins de l'entreprise, chaque année le gestionnaire supprime 10 % des ordinateurs les plus anciens et achète 30 ordinateurs neufs.
Le nombre d'ordinateurs du parc informatique de cette entreprise est modélisé par la suite $\left(u_n\right)$ où où le terme $u_n$ désigne le nombre d'ordinateurs disponibles au cours de l'année $\left(2014+n\right)$.
Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=200$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n+30$.

1. Calculer le nombre d'ordinateurs en 2015 et en 2016.

   Pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,9}{u}_n+30$ d'où :$$\begin{array}{ccc}{u}_1& =& u_0\times \mathrm{0,9}+30\hfill \\ & =& 200\times \mathrm{0,9}+30\hfill \\ & =& 210\hfill \\ u_2& =& u_1\times \mathrm{0,9}+30\hfill \\ & =& 210\times \mathrm{0,9}+30\hfill \\ & =& 219\hfill \end{array}$$

Selon ce modèle, en 2015 il devrait y avoir 210 ordinateurs et, en 2016 219 ordinateurs.

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2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-300$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-300\\ & =& \mathrm{0,9}{u}_n+30-300\\ & =& \mathrm{0,9}{u}_n-270\\ & =& \mathrm{0,9}\times \left(u_n-300\right)\\ & =& \mathrm{0,9}{v}_n\end{array}$$

      Pour tout entier n, $v_{n+1}=\mathrm{0,9}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9. D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{v}_0=u_0-300& \text{soit}& v_0=200-300=-100\end{array}$$

      Ainsi, $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_0=-100$.

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   2. Exprimer $v_n$, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n=300-100\times {\mathrm{0,9}}^n$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_0=-100$ alors pour tout entier n, $v_n=-100\times {\mathrm{0,9}}^n$

      D'autre part, pour tout entier n, $v_n=u_n-300$ d'où $u_n=v_n+300$.

      Donc pour tout entier n, $u_n=300-100\times {\mathrm{0,9}}^n$.

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3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat.

   $0<\mathrm{0,9}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,9}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }300-100\times {\mathrm{0,9}}^n=300$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=300$.

   La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 300. Par conséquent, au bout d'un certain nombre d'années, le nombre d'ordinateurs sera proche de 300.

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4. En quelle année, le nombre d'ordinateurs disponibles dans cette entreprise sera-t-il supérieur à 250 ?

   Le rang de l'année est le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n>250$ Soit : $$\begin{array}{cccc}300-100\times {\mathrm{0,9}}^n>250& \iff & -100\times {\mathrm{0,9}}^n>-50\hfill & \\ & \iff & {\mathrm{0,9}}^n<\mathrm{0,5}\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,9}}^n\right)<\ln \mathrm{0,5}\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\hfill \\ & \iff & n\ln \mathrm{0,9}<\ln \mathrm{0,5}\hfill & \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\hfill \\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,9}}}\hfill & \ln \mathrm{0,9}<0\hfill \end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,9}}}\approx \mathrm{6,6}$ alors, le plus petit entier $n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,9}}}$ est 7.

   En 2021, le nombre d'ordinateurs sera supérieur à 250.

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