contrôles en terminale ES

contrôle du 07 mars 2015

Corrigé de l'exercice 1

En 2014, le parc informatique d'une entreprise était de 200 ordinateurs.
Pour renouveler ce parc et tenir compte des besoins de l'entreprise, chaque année le gestionnaire supprime 10 % des ordinateurs les plus anciens et achète 30 ordinateurs neufs.
Le nombre d'ordinateurs du parc informatique de cette entreprise est modélisé par la suite (un) où où le terme un désigne le nombre d'ordinateurs disponibles au cours de l'année (2014+n).
Ainsi, la suite (un) est définie par u0=200 et pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+30.

  1. Calculer le nombre d'ordinateurs en 2015 et en 2016.

    Pour tout entier naturel n, un+1=0,9un+30 d'où :u1=u0×0,9+30 =200×0,9+30 =210u2=u1×0,9+30 =210×0,9+30 =219

  2. Selon ce modèle, en 2015 il devrait y avoir 210 ordinateurs et, en 2016 219 ordinateurs.


  3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn=un-300.

    1. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-300=0,9un+30-300=0,9un-270=0,9×(un-300)=0,9vn

      Pour tout entier n, vn+1=0,9vn donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,9. D'autre part, v0=u0-300soitv0=200-300=-100

      Ainsi, (vn) est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0=-100.


    2. Exprimer vn, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=300-100×0,9n.

      (vn) est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme v0=-100 alors pour tout entier n, vn=-100×0,9n

      D'autre part, pour tout entier n, vn=un-300 d'où un=vn+300.

      Donc pour tout entier n, un=300-100×0,9n.


  4. Déterminer la limite de la suite (un). Interpréter ce résultat.

    0<0,9<1 donc limn+0,9n =0 d'où, limn+300-100×0,9n=300. Soit limn+un=300.

    La suite (un) converge vers 300. Par conséquent, au bout d'un certain nombre d'années, le nombre d'ordinateurs sera proche de 300.


  5. En quelle année, le nombre d'ordinateurs disponibles dans cette entreprise sera-t-il supérieur à 250 ?

    Le rang de l'année est le plus petit entier n solution de l'inéquation un>250 Soit : 300-100×0,9n>250-100×0,9n>-50 0,9n<0,5 ln(0,9n)<ln0,5 La fonction  ln est strictement croissante nln0,9<ln0,5Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n lnan= nlna n>ln0,5ln0,9ln0,9<0

    Comme ln0,5ln0,96,6 alors, le plus petit entier n>ln0,5ln0,9 est 7.

    En 2021, le nombre d'ordinateurs sera supérieur à 250.



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