contrôle du 07 mars 2015

Corrigé de l'exercice 4

On considère la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=2x-x\ln \left(x\right)+1$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.
La fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on note $f\prime$ sa fonction dérivée et $f″$ sa fonction dérivée seconde.

1. La tangente T à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;3\right)$ coupe l'axe des ordonnées au point $B\left(0;2\right)$ . Déterminer $f\prime \left(1\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{2-3}{0-1}}=1\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime \left(1\right)=1$.

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2. 1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)=1-\ln \left(x\right)$.

      La fonction g définie pour tout réel x strictement positif par $g\left(x\right)=x\ln \left(x\right)$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
      $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)=\ln \left(x\right)\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$

      Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 2-\left(1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\hfill \\ & =& 2-\ln \left(x\right)-1\hfill \\ & =& 1-\ln \left(x\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x strictement positif, par $f\prime \left(x\right)=1-\ln \left(x\right)$.

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   2. Résoudre dans l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, l'inéquation $1-\ln \left(x\right)⩽0$.

      Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{lll}1-\ln \left(x\right)⩽0& \iff & -\ln \left(x\right)⩽-1\\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾1\\ & \iff & x⩾\mathrm{e}\end{array}$$

      L'ensemble solution de l'inéquation $1-\ln \left(x\right)⩽0$ est l'intervalle $S=\left[\mathrm{e};+\infty \right[$.

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   3. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de la fonction f :

      x		0		e		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$				$\mathrm{e}+1$

      calcul du maximum

      $$f\left(\mathrm{e}\right)=2\mathrm{e}-\mathrm{e}\times \ln \left(\mathrm{e}\right)+1=\mathrm{e}+1$$

3. Étudier la convexité de la fonction f.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$. Or pour tout réel x strictement positif, $f″\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}$.

   Ainsi, pour tout réel x strictement positif, $f″\left(x\right)<0$ donc la fonction f est conconcave sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

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