sujet : Antilles Guyane 2013

correction de l'exercice 1

1. L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera $\left(u_n\right)$.

   Entrée :	Saisir la valeur de l'entier naturel n
   Traitement :	Affecter 2 à la variable u Pour i variant de 1 à n Affecter $\mathrm{1,5}u$ à u Fin de Pour
   Sortie :	Afficher u

   Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit $n=1$, puis $n=2$ et enfin $n=3$ ?

   • Si $n=1$ alors $u_1=2\times \mathrm{1,5}=3$

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   • Si $n=2$ alors $u_2=u_1\times \mathrm{1,5}$ soit $u_2=3\times \mathrm{1,5}=\mathrm{4,5}$

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   • Si $n=3$ alors $u_3=u_2\times \mathrm{1,5}$ soit $u_3=\mathrm{4,5}\times \mathrm{1,5}=\mathrm{6,75}$

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2. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,5}{u}_n$.

   1. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $q=\mathrm{1,5}$.

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   2. Pour tout entier naturel n, donner l'expression du terme $u_n$ en fonction de n.

      Pour tout entier naturel n, $u_n=2\times {\mathrm{1,5}}^n$.

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3. On considère la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par : $$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{u}_k=u_0+u_1+u_2+\dots +u_n$$

   1. Calculer les valeurs des termes $S_0$, $S_1$ et $S_2$.

      • $S_0=u_0=2$

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      • $S_1=u_0+u_1$ soit $S_1=2+3=5$

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      • $S_2=u_0+u_1+u_2$ soit $S_1=2+3+\mathrm{4,5}=\mathrm{9,5}$

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   2. Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme $S_n$ pour un n donné ?
      Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie.

      Entrée :	Saisir la valeur de l'entier naturel n
      Traitement :	Affecter 2 à la variable u Affecter 2 à la variable S Pour i variant de 1 à n Affecter $\mathrm{1,5}u$ à u Affecter $S+u$ à S Fin de Pour
      Sortie :	Afficher S

   3. Calculer le terme $S_n$ en fonction de l'entier naturel n.

      Comme $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $q=\mathrm{1,5}$ alors $$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{u}_k=2\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{1,5}}^{n+1}}{1-\mathrm{1,5}}}=-4\times \left(1-{\mathrm{1,5}}^{n+1}\right)=6\times {\mathrm{1,5}}^n-4$$

      Pour tout entier naturel n, $S_n=6\times {\mathrm{1,5}}^n-4$.

   4. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.

      Comme $\mathrm{1,5}>1$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{1,5}}^n=+\infty$ d'où $\underset{n\to +\infty }{\lim }6\times {\mathrm{1,5}}^n-4=+\infty$.

      Ainsi, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=+\infty$.

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