Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Antilles Guyane 2013

exercice 1 ( 4 points )

  1. L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera un.

    Entrée :

    Saisir la valeur de l'entier naturel n

    Traitement :

    Affecter 2 à la variable u

    • Pour i variant de 1 à n
      • Affecter 1,5u à u
    • Fin de Pour

    Sortie :

    Afficher u

    Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit n=1, puis n=2 et enfin n=3 ?

  2. On considère la suite un définie par u0=2 et, pour tout entier naturel n, un+1=1,5un.

    1. Quelle est la nature de la suite un ? Préciser ses éléments caractéristiques.

    2. Pour tout entier naturel n, donner l'expression du terme un en fonction de n.

  3. On considère la suite Sn définie pour tout entier naturel n par : Sn=k=0nuk=u0+u1+u2++un

    1. Calculer les valeurs des termes S0, S1 et S2.

    2. Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme Sn pour un n donné ?
      Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie.

    3. Calculer le terme Sn en fonction de l'entier naturel n.

    4. En déduire la limite de la suite Sn.


EXERCICE 2 ( 5 points )

Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique pour la compétition. Le responsable de la qualité cherche à analyser la production.
Il mesure pour cela la masse des boules d'un échantillon (E) de 50 pièces de la production concernée, et obtient les résultats suivants pour la série statistique des masses :

Masse en g 1195 1196 1197 1198 1199 1200 1201 1202 1203 1204
Nombre de boules 1 3 4 6 8 11 6 5 3 3

Une boule est dite « de bonne qualité » si sa masse en grammes m vérifie : 1197m1203.

    1. Calculer, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité.

    2. Déterminer la moyenne et l'écart type de la série des masses de cet échantillon. (On donnera des valeurs approchées au gramme près.)

    Dans la suite de l'exercice, on admet que la probabilité qu'une boule soit de bonne qualité est : p=0,86.
    Les résultats des différentes probabilités seront donnés au millième près.

  1. L'entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix de chaque pièce d'un lot à un tirage avec remise.
    On désigne par X la variable aléatoire qui, à un lot donné de 50 boules, associe le nombre de boules de bonne qualité.

    1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres n et p.

    2. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.

  2. On décide d'approcher la loi binomiale suivie par la variable aléatoire X par une loi normale d'espérance m et d'écart type σ.

    1. Justifier que m=43 et σ2,45.

    2. Déterminer, à l'aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.

  3. Le client reçoit un lot de 50 boules.

    1. Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de 50 pièces.

    2. Dans son lot, le client a 42 boules qui sont de bonne qualité. Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité est trop faible au regard de la production habituelle de l'entreprise.
      Peut-on donner raison au client au seuil de confiance de 95 % ? Justifier.


exercice 3 ( 4 points )

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct Ouv. On note l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument π2.

  1. On considère l'équation (E) d'inconnue z : 2-iz=2-6i

    1. Résoudre dans l'équation (E). On notera z1 la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique.

    2. Déterminer la forme exponentielle de z1.

    3. Soit z2 le nombre complexe défini par : z2=e-iπ2×z1.
      Déterminer les formes exponentielle et algébrique de z2.

  2. Soit A, B et C les points du plan d'affixes respectives : zA=2-2i, zB=-2-2i et zC=-4i.

    1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

    2. Calculer le produit scalaire CA.CB.

    3. Déterminer la nature du triangle ABC.


EXERCICE 4 ( 6 points )

Soit f la fonction définie sur 0+ par fx=1x-lnx. On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal Oij.

  1. Sur le graphique ci-dessous, on donne Cf et les courbes C et Γ. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée f de f, et l'autre une des primitives F de f.

    Courbes représentatives des fonctions f, f' et F : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Indiquer laquelle des deux courbes C et Γ représente graphiquement f. Justifier.

    2. Par lecture graphique, donner F1.

  2. Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin.

    1. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0.
      Interpréter graphiquement cette limite.

    2. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers +.

    3. Calculer fx et montrer que l'on peut écrire : fx=-x-1x2.

    4. Étudier le signe de fx puis donner le tableau de variations de f.

  3. Soit H la fonction définie sur 0+ par : Hx=x-x-1lnx.

    1. Montrer que H est une primitive de f sur 0+.

    2. En déduire l'expression de la fonction F de la question 1.

    3. Calculer 1efxdx.



Rechercher des exercices regoupés par thème

[ Accueil ]

L'affichage recommandé pour une meilleure lisibilité est de 1280 × 1024.

math@es

✉ A.Yallouz

Powered by MathJax