Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Antilles Guyane 2013

correction de l'exercice 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct Ouv. On note l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument π2.

  1. On considère l'équation (E) d'inconnue z : 2-iz=2-6i

    1. Résoudre dans l'équation (E). On notera z1 la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique.

      2-iz=2-6iz=2-6i2-iz=2-6i2+i2-i2+iz=4+2i-12i+64+1z=2-2i

      L'équation 2-iz=2-6i pour solution z1=2-2i


    2. Déterminer la forme exponentielle de z1.

      • Le module r du nombre complexe z1=2-2i est :r=2+4=8=22

      • L'argument θ du nombre complexe z1=2-2i est tel que :{cosθ=222=22sinθ=-222=-22 D'où z1 a pour argument θ=-π4

      Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe z1=2-2i est donc z1=22e-iπ4.


    3. Soit z2 le nombre complexe défini par : z2=e-iπ2×z1. Déterminer les formes exponentielle et algébrique de z2.

      z2=e-iπ2×22e-iπ4=22e-iπ2+π4=22e-i3π4=22×cos-3π4+isin-3π4=-2-2i

      Ainsi, z2=22e-i3π4 soit z2=-2-2i.


  2. Soit A, B et C les points du plan d'affixes respectives : zA=2-2i, zB=-2-2i et zC=-4i.

    1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

      Points A, B et C : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Calculer le produit scalaire CA.CB.

      Dans le plan muni du repère orthonormal Ouv, CA=0-2-4--2, soit CA=-2-2 et CB=0--2-4--2, soit CB=2-2. D'où CA.CB=-2×2+-2×-2=0

      Ainsi, CA.CB=0.


    3. Déterminer la nature du triangle ABC.

      • CA.CB=0 d'où CACB.

      • CA=-2-2 d'où CA=-22+-22=22

      • CB=2-2 d'où CB=22+-22=22

      Comme CA=CB et CACB, ABC est un triangle rectangle isocèle.



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