sujet : Antilles Guyane 2013

correction de l'exercice 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On note $ℂ$ l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. On considère l'équation (E) d'inconnue z : $$\left(2-\mathrm{i}\right)z=2-6\mathrm{i}$$

   1. Résoudre dans $ℂ$ l'équation (E). On notera $z_1$ la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique.

      $$\begin{array}{ccc}\left(2-\mathrm{i}\right)z=2-6\mathrm{i}& \iff & z={\displaystyle \frac{2-6\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}}\hfill \\ & \iff & z={\displaystyle \frac{\left(2-6\mathrm{i}\right)\left(2+\mathrm{i}\right)}{\left(2-\mathrm{i}\right)\left(2+\mathrm{i}\right)}}\hfill \\ & \iff & z={\displaystyle \frac{4+2\mathrm{i}-12\mathrm{i}+6}{4+1}}\hfill \\ & \iff & z=2-2\mathrm{i}\hfill \end{array}$$

      L'équation $\left(2-\mathrm{i}\right)z=2-6\mathrm{i}$ pour solution $z_1=2-2\mathrm{i}$

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   2. Déterminer la forme exponentielle de $z_1$.

      • Le module r du nombre complexe $z_1=2-2\mathrm{i}$ est :$$r=\sqrt{2+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$

      • L'argument θ du nombre complexe $z_1=2-2\mathrm{i}$ est tel que :$$\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{-2}{2\sqrt{2}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$ D'où $z_1$ a pour argument $\mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

      Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z_1=2-2\mathrm{i}$ est donc $z_1=2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$.

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   3. Soit $z_2$ le nombre complexe défini par : $z_2={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}\times z_1$. Déterminer les formes exponentielle et algébrique de $z_2$.

      $$\begin{array}{ccc}{z}_2& =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}\times 2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\hfill \\ & =& 2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\right)}\hfill \\ & =& 2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}\hfill \\ & =& 2\sqrt{2}\times \left[\cos \left(-\frac{3\pi }{4}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\frac{3\pi }{4}\right)\right]\hfill \\ & =& -2-2\mathrm{i}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $z_2=2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$ soit $z_2=-2-2\mathrm{i}$.

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2. Soit A, B et C les points du plan d'affixes respectives : $z_A=2-2\mathrm{i}$, $z_B=-2-2\mathrm{i}$ et $z_C=-4\mathrm{i}$.

   1. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.

   2. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$.

      Dans le plan muni du repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, $\overrightarrow{CA}=\left(\begin{array}{c}0-2\\ -4-\left(-2\right)\end{array}\right)$, soit $\overrightarrow{CA}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c}0-\left(-2\right)\\ -4-\left(-2\right)\end{array}\right)$, soit $\overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)$. D'où $$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=\left(-2\right)\times 2+\left(-2\right)\times \left(-2\right)=0$$

      Ainsi, $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0$.

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   3. Déterminer la nature du triangle ABC.

      • $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=0$ d'où $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$.

      • $\overrightarrow{CA}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2\end{array}\right)$ d'où $CA=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{2}$

      • $\overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)$ d'où $CB=\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{2}$

      Comme $CA=CB$ et $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$, ABC est un triangle rectangle isocèle.

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