sujet : Antilles Guyane 2013

correction de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}-\ln x$. On appelle $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

1. Sur le graphique ci-dessous, on donne $C_f$ et les courbes C et Γ. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f\prime$ de f, et l'autre une des primitives F de f.

   1. Indiquer laquelle des deux courbes C et Γ représente graphiquement $f\prime$. Justifier.

      La fonction f est décroissante, par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)⩽0$.

      Comme $f\prime \left(x\right)⩽0$, Γ est la courbe représentative de la fonction $f\prime$.

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   2. Par lecture graphique, donner $F\left(1\right)$.

      La courbe C est la courbe représentative de la fonction F donc $F\left(1\right)=1$.

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2. Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin.

   1. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0. Interpréter graphiquement cette limite.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ donc $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}-\ln x=+\infty$.

      $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc l'axe des ordonnées est une asymptote verticale de la courbe représentative de la fonction f .

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   2. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers $+\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}-\ln x=-\infty$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

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   3. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et montrer que l'on peut écrire : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x-1}{x^2}}$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& -{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-x-1}{x^2}}\end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x-1}{x^2}}$

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   4. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ puis donner le tableau de variations de f.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $x^2>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $-x-1$. Or $$\begin{array}{ccc}-x-1⩽0& \iff & -x⩽1\hfill \\ & \iff & x⩾-1\hfill \end{array}$$

      Par conséquent, sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)<0$ donc f est décroissante. D'où le tableau de variations de f :

      x		0			$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−
      $f\left(x\right)$			$+\infty$		− ∞

3. Soit H la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par : $H\left(x\right)=x-\left(x-1\right)\ln x$.

   1. Montrer que H est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

      H est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables. Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccc}H\prime \left(x\right)& =& 1-\left(\ln x+\left(x-1\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\hfill \\ & =& 1-\ln x-x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{x}}-\ln x\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x strictement positif, $H\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc H est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

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   2. En déduire l'expression de la fonction F de la question 1.

      F est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$ donc $F\left(x\right)=x-\left(x-1\right)\ln x+c$ avec c un réel tel que $F\left(1\right)=1$. Soit $$\begin{array}{ccc}1-\left(1-1\right)\times \ln 1+c=1& \iff & c=0\end{array}$$

      F est la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=x-\left(x-1\right)\ln x$.

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   3. Calculer ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      F est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$ d'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(\mathrm{e}\right)-F\left(1\right)\hfill \\ & =& \mathrm{e}-\left(\mathrm{e}-1\right)\ln \mathrm{e}-1\hfill \\ & =& 0\hfill \end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=0$

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