Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Antilles Guyane 2013

correction de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur ]0;+[ par f(x)=1x-lnx. On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;𝚤,𝚥).

  1. Sur le graphique ci-dessous, on donne Cf et les courbes C et Γ. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée f de f, et l'autre une des primitives F de f.

    Courbes représentatives des fonctions f, f' et F : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Indiquer laquelle des deux courbes C et Γ représente graphiquement f. Justifier.

      La fonction f est décroissante, par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, f(x)0.

      Comme f(x)0, Γ est la courbe représentative de la fonction f.


    2. Par lecture graphique, donner F(1).

      La courbe C est la courbe représentative de la fonction F donc F(1)=1.


  2. Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin.

    1. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0. Interpréter graphiquement cette limite.

      Sur l'intervalle ]0;+[, limx01x=+ et limx0lnx=- donc limx01x-lnx=+.

      limx0f(x)=+ donc l'axe des ordonnées est une asymptote verticale de la courbe représentative de la fonction f .


    2. Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers +.

      limx+1x=0 et limx+lnx=+ donc limx+1x-lnx=-.

      limx+f(x)=-


    3. Calculer f(x) et montrer que l'on peut écrire : f(x)=-x-1x2.

      Pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, f(x)=-1x2-1x=-x-1x2

      f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=-x-1x2


    4. Étudier le signe de f(x) puis donner le tableau de variations de f.

      Sur l'intervalle ]0;+[, x2>0 donc f(x) est du même signe que -x-1. Or -x-10-x1x-1

      Par conséquent, sur l'intervalle ]0;+[, f(x)<0 donc f est décroissante. D'où le tableau de variations de f :

      x0+
      f(x)  
      f(x)  

      +

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      − ∞

  3. Soit H la fonction définie sur ]0;+[ par : H(x)=x-(x-1)lnx.

    1. Montrer que H est une primitive de f sur ]0;+[.

      H est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables. Pour tout réel x strictement positif : H(x)=1-(lnx+(x-1)×1x)=1-lnx-x×1x+1x=1x-lnx

      Ainsi, pour tout réel x strictement positif, H(x)=f(x) donc H est une primitive de f sur ]0;+[.


    2. En déduire l'expression de la fonction F de la question 1.

      F est une primitive de f sur ]0;+[ donc F(x)=x-(x-1)lnx+c avec c un réel tel que F(1)=1. Soit 1-(1-1)×ln1+c=1c=0

      F est la fonction définie sur ]0;+[ par F(x)=x-(x-1)lnx.


    3. Calculer 1ef(x)dx.

      F est une primitive de f sur ]0;+[ d'où 1ef(x)dx=F(e)-F(1)=e-(e-1)lne-1=0

      1ef(x)dx=0



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