Soit f la fonction définie sur par . On appelle sa courbe représentative dans un repère orthonormal .
Sur le graphique ci-dessous, on donne et les courbes C et Γ. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée de f, et l'autre une des primitives F de f.
Indiquer laquelle des deux courbes C et Γ représente graphiquement . Justifier.
La fonction f est décroissante, par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle , .
Comme , Γ est la courbe représentative de la fonction .
Par lecture graphique, donner .
La courbe C est la courbe représentative de la fonction F donc .
Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin.
Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers 0. Interpréter graphiquement cette limite.
Sur l'intervalle , et donc .
donc l'axe des ordonnées est une asymptote verticale de la courbe représentative de la fonction f .
Déterminer la limite de la fonction f quand x tend vers .
et donc .
Calculer et montrer que l'on peut écrire : .
Pour tout réel x de l'intervalle ,
est la fonction définie sur l'intervalle par
Étudier le signe de puis donner le tableau de variations de f.
Sur l'intervalle , donc est du même signe que . Or
Par conséquent, sur l'intervalle , donc f est décroissante. D'où le tableau de variations de f :
x | 0 | ||||
− | |||||
− ∞ |
Soit H la fonction définie sur par : .
Montrer que H est une primitive de f sur .
H est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables. Pour tout réel x strictement positif :
Ainsi, pour tout réel x strictement positif, donc H est une primitive de f sur .
En déduire l'expression de la fonction F de la question 1.
F est une primitive de f sur donc avec c un réel tel que . Soit
F est la fonction définie sur par .
Calculer .
F est une primitive de f sur d'où
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