sujet : Antilles Guyane 2013

correction de l'exercice 2

1. 1. Calculer, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité.

      $${\displaystyle \frac{4+6+8+11+6+5+3}{50}}=\mathrm{0,86}$$

      Dans l'échantillon (E), il y 86 % de boules de bonne qualité.

      ---

   2. Déterminer la moyenne et l'écart type de la série des masses de cet échantillon. (On donnera des valeurs approchées au gramme près.)

      Dans cet échantillon, la masse moyenne des boules est $m\approx 1200$ et l'écart type est $\sigma \approx 2$.

      ---

   Dans la suite de l'exercice, on admet que la probabilité qu'une boule soit de bonne qualité est : $p=\mathrm{0,86}$.
   Les résultats des différentes probabilités seront donnés au millième près.

2. L'entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix de chaque pièce d'un lot à un tirage avec remise.
   On désigne par X la variable aléatoire qui, à un lot donné de 50 boules, associe le nombre de boules de bonne qualité.

   1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres n et p.

      On assimile le choix de chaque pièce d'un lot à un tirage avec remise donc X suit une loi binomiale de paramètres 50 et 0,86.

      ---

   2. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾48\right)=1-P\left(X⩽47\right)\approx \mathrm{0,022}& \text{ou}& P\left(X⩾48\right)=P\left(X=48\right)+P\left(X=49\right)+P\left(X=50\right)\approx \mathrm{0,022}\end{array}$$

      La probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot est égale à 0,022.

      ---

3. On décide d'approcher la loi binomiale suivie par la variable aléatoire X par une loi normale d'espérance m et d'écart type σ.

   1. Justifier que $m=43$ et $\sigma \approx \mathrm{2,45}$.

      X suit une loi binomiale de paramètres 50 et 0,86 d'où $$\begin{array}{ccc}m=50\times \mathrm{0,86}=43& \text{et}& \sigma =\sqrt{50\times \mathrm{0,86}\times \left(1-\mathrm{0,86}\right)}\approx \mathrm{2,45}\end{array}$$

   2. Déterminer, à l'aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.

      $$P\left(X⩾48\right)=\mathrm{0,5}-P\left(43⩽X⩽48\right)\approx \mathrm{0,02}$$

      Avec l'approximation à l'aide de la loi normale, la probabilité qu'il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot est égale à 0,02.

      ---

4. Le client reçoit un lot de 50 boules.

   1. Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de 50 pièces.

      L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est :$$I=\left[\mathrm{0,86}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,86}\times \mathrm{0,14}}{50}}};\mathrm{0,86}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,86}\times \mathrm{0,14}}{50}}}\right]$$

      Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de 50 pièces est $I=\left[\mathrm{0,764};\mathrm{0,956}\right]$

      ---

   2. Dans son lot, le client a 42 boules qui sont de bonne qualité. Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité est trop faible au regard de la production habituelle de l'entreprise.
      Peut-on donner raison au client au seuil de confiance de 95 % ? Justifier.

      $n=50$, $np=50\times \mathrm{0,86}=43$ et $n\left(1-p\right)=50\times \mathrm{0,14}=7$. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

      La fréquence f de boules qui sont de bonne qualité dans le lot reçu par le client est :$$f={\displaystyle \frac{42}{50}}=\mathrm{0,84}$$

      $\mathrm{0,84}\in \left[\mathrm{0,764};\mathrm{0,956}\right]$, au seuil de confiance de 95 % on considère que 86 % des boules sont de bonne qualité.

      ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesQCMVrai-FauxFonctions logarithmesFonctions exponentiellesÉquations différentiellesNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.