sujet : France métropolitaine septembre 2013

correction de l'exercice 2

Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de 125 grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de 125 grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de $\left[124;\mathrm{127,5}\right]$.

1. On désigne par X la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75.

   On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75.

   a	$p\left(X⩽a\right)$		a	$p\left(X⩽a\right)$		a	$p\left(X⩽a\right)$		a	$p\left(X⩽a\right)$
   122,00	0,000 001 5		123,50	0,003 830 4		125,00	0,252 492 5		126,50	0,908 788 8
   122,25	0,000 007 3		123,75	0,009 815 3		125,25	0,369 441 3		126,75	0,952 209 6
   122,50	0,000 031 7		124,00	0,022 750 1		125,50	0,500 000 0		127,00	0,977 249 9
   122,75	0,000 122 9		124,25	0,047 790 4		125,75	0,630 558 7		127,25	0,990 184 7
   123,00	0,000 429 1		124,50	0,091 211 2		126,00	0,747 507 5		127,50	0,996 169 6
   123,25	0,001 349 9		124,75	0,158 655 3		126,25	0,841 344 7		127,75	0,998 650 1

   1. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes.

      La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 125,5 d'où $p\left(X⩾\mathrm{125,5}\right)=\mathrm{0,5}$.

      La probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes est égale à 0,5.

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   2. Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme.

      $$\begin{array}{ccc}p\left(124⩽X⩽\mathrm{127,5}\right)& =& p\left(X⩽\mathrm{127,5}\right)-p\left(X⩽124\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,9961696}-\mathrm{0,0227501}\hfill \\ & =& \mathrm{0,974195}\hfill \end{array}$$

      Arrondie à 10^-3 près, la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,974.

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   3. En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.

      L'évènement « une barre de pâte d'amande prélevée au hasard est non conforme » est l'évènement contraire de l'évènement « une barre de pâte d'amande prélevée au hasard est conforme ». $$\begin{array}{ccc}p\left(X\notin \left[124;\mathrm{127,5}\right]\right)& =& 1-p\left(124⩽X⩽\mathrm{127,5}\right)\hfill \\ & =& 1-\mathrm{0,974195}\hfill \\ & =& \mathrm{0,0265805}\hfill \end{array}$$

      Arrondie à 10^-3 près, la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme est égale à 0,026.

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2. Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de 300 barres de pâte d'amande dans la production et constate que 280 barres de pâte d'amande sont conformes.
   On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97 %.
   On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant.

   1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à 10⁻³ près).

      $n=300$, $np=300\times \mathrm{0,97}=291$ et $n\left(1-p\right)=300\times \mathrm{0,03}=9$. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,97}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,97}\times \mathrm{0,03}}{300}}};\mathrm{0,97}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,97}\times \mathrm{0,03}}{300}}}\right]\end{array}$$

      Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 est $I=\left[\mathrm{0,951};\mathrm{0,989}\right]$.

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   2. Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine ?

      La fréquence observée dans cet échantillon est $f={\displaystyle \frac{280}{300}}={\displaystyle \frac{14}{15}}\approx \mathrm{0,933}$.

      La fréquence observée n'est pas dans l'intervalle $I=\left[\mathrm{0,951};\mathrm{0,989}\right]$ qui est l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. On rejette l'hypothèse que le réglage actuel est satisfaisant et, on prend la décision d'effectuer un nouveau réglage de la machine.

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