Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine septembre 2013

exercice 1 ( 4 points )

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5 i$ est :
1. $z = 5 e^{i \frac{3 π}{4}}$
2. $z = 5 \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$
3. $z = 5 e^{- i \frac{π}{4}}$
4. $z = 5 \sqrt{2} e^{- i \frac{π}{4}}$
Si $z_{1} = 2 \sqrt{2} e^{i \frac{3 π}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2} e^{- i \frac{π}{3}}$ , alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe :
1. de module 4 et dont un argument est $\frac{2 π}{7}$
2. de module $2 \sqrt{2}$ et dont un argument est $\frac{5 π}{12}$
3. de module 4 et dont un argument est $\frac{5 π}{12}$
4. de module $2 \sqrt{2}$ et dont un argument est $\frac{13 π}{12}$
Le nombre complexe $\frac{\sqrt{2} - i \sqrt{2}}{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}$ est egal à :
1. 1
2. $i$
3. $- 1$
4. $- i$
Le nombre complexe z de module $2 \sqrt{3}$ et dont un argument est $\frac{2 π}{3}$ a pour forme algébrique :
1. $\sqrt{3} - 3 i$
2. $3 - i \sqrt{3}$
3. $- \sqrt{3} + 3 i$
4. $- 3 + i \sqrt{3}$

EXERCICE 2 ( 4 points )

Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de 125 grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de 125 grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de $[124; 127,5]$ .

On désigne par X la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75.

Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes.
Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme.
En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.

On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance 125,5 et d'écart type 0,75.

a	$p (X ⩽ a)$	a	$p (X ⩽ a)$	a	$p (X ⩽ a)$	a	$p (X ⩽ a)$
122,00	0,000 001 5	123,50	0,003 830 4	125,00	0,252 492 5	126,50	0,908 788 8
122,25	0,000 007 3	123,75	0,009 815 3	125,25	0,369 441 3	126,75	0,952 209 6
122,50	0,000 031 7	124,00	0,022 750 1	125,50	0,500 000 0	127,00	0,977 249 9
122,75	0,000 122 9	124,25	0,047 790 4	125,75	0,630 558 7	127,25	0,990 184 7
123,00	0,000 429 1	124,50	0,091 211 2	126,00	0,747 507 5	127,50	0,996 169 6
123,25	0,001 349 9	124,75	0,158 655 3	126,25	0,841 344 7	127,75	0,998 650 1

Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de 300 barres de pâte d'amande dans la production et constate que 280 barres de pâte d'amande sont conformes.
On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97 %.
On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant.
1. Donner l'intervalle de ﬂuctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à 10⁻³ près).
2. Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine ?

exercice 3 ( 6 points )

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635 milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100 milligrammes par kilomètre.
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7 % par an.

1. Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.
2. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002.
  Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.
Louise a amorcé l'algorithme suivant :
variables :
- n : un nombre entier naturel
- p : un nombre réel
initialisation :
- Affecter à n la valeur 0
- Affecter à p la valeur 635
traitement :
- Tant que …
  - Affecter à n la valeur $n + 1$
  - Affecter à p la valeur $0,883 \times p$
- Fin Tant que
sortie :

Afficher …
1. Expliquer l'instruction « Affecter à p la valeur $0,883 \times p$ ».
2. Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
Pour tout entier naturel n, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année (2000 + n). On a ainsi $u_{0} = 635$ .
1. Établir que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
2. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.
Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.

EXERCICE 4 ( 6 points )

Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable.
La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical [OS] et OH = 30 m.
L'arc $\overset{⏜}{S A}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle $[0; 60]$ , dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre.

Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

OS = 60 ;
HK > 35 ;
la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle $[0; 60]$ ;
OA ⩽ 60.

partie a : Étude d'une fonction numérique

Vérifier que la fonction f définie sur l'intervalle $[0; 60]$ par $f (x) = 80 - 20 e^{0,025 x}$ vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.
Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à 10⁻¹ près par excès du réel a qui vérifie $f (a) = 0$ .
Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.

partie b : Calcul d'intégrale et application

1. La fonction F est définie sur l'intervalle $[0; 60]$ par $F (x) = 80 x - 800 e^{0,025 x}$ .
  Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0; 60]$ .
2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \int_{0}^{55,5} f (x) d x$ .
3. Donner la valeur approchée, arrondie à 10⁻² près de J.
On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
1. Déterminer à 10⁻² près l'aire de cette surface exprimée en m².
2. La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?

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