Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine septembre 2013

correction de l'exercice 3

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635 milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100 milligrammes par kilomètre.
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7 % par an.

    1. Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.

      La norme tolérée en 2001 était : 635×1-11,7100=560,705

      Ainsi, la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.


    2. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002.
      Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.

      La norme tolérée en 2002 était : 560,705×1-11,7100495,1

      La norme tolérée était d'environ 495 milligrammes par kilomètre en 2002. Ce véhicule ne respectait pas la norme tolérée cette année-là.


  1. Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.
    Louise a amorcé l'algorithme suivant :

    variables :

    • n : un nombre entier naturel
    • p : un nombre réel

    initialisation :

    • Affecter à n la valeur 0
    • Affecter à p la valeur 635

    traitement :

    • Tant que …

      • Affecter à n la valeur n+1
      • Affecter à p la valeur 0,883×p
    • Fin Tant que

    sortie :

    Afficher …

    1. Expliquer l'instruction « Affecter à p la valeur 0,883×p ».

      Soit p, la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année de rang n. L'année suivante, la norme tolérée, exprimée en milligrammes est p×1-11,7100=0,883×p


    2. Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.

      variables :

      • n : un nombre entier naturel
      • p : un nombre réel

      initialisation :

      • Affecter à n la valeur 0
      • Affecter à p la valeur 635

      traitement :

      • Tant que p100

        • Affecter à n la valeur n+1
        • Affecter à p la valeur 0,883×p
      • Fin Tant que

      sortie :

      Afficher 2000+n

  2. Pour tout entier naturel n, on note un la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année (2000 + n). On a ainsi u0=635.

    1. Établir que la suite un est une suite géométrique dont on précisera la raison.

      Pour tout entier naturel n, un+1=un×1-11,7100=0,883×un

      Ainsi, un est une suite géométrique de raison 0,883.


    2. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.

      un est une suite géométrique de premier terme u0=635 et de raison q=0,883 donc :

      pour tout entier naturel n, un=635×0,883n.


  3. Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.

    On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que : 635×0,883n1000,883n100635ln0,883nln100635 La fonction  ln est strictement croissantenln0,883ln100635nln100635ln0,883ln0,883<0

    Comme ln100635ln0,88314,9, le plus petit entier n tel que nln100635ln0,883 est 15.

    L'Union Européenne atteindra son objectif à partir de 2015.



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