sujet : France métropolitaine septembre 2013

correction de l'exercice 3

Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à 635 milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à 100 milligrammes par kilomètre.
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7 % par an.

1. 1. Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.

      La norme tolérée en 2001 était : $$635\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{11,7}}{100}}\right)=\mathrm{560,705}$$

      Ainsi, la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001.

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   2. Un véhicule émettait 500 milligrammes par kilomètre en 2002.
      Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.

      La norme tolérée en 2002 était : $$\mathrm{560,705}\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{11,7}}{100}}\right)\approx \mathrm{495,1}$$

      La norme tolérée était d'environ 495 milligrammes par kilomètre en 2002. Ce véhicule ne respectait pas la norme tolérée cette année-là.

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2. Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.
   Louise a amorcé l'algorithme suivant :

   variables :

   • n : un nombre entier naturel
   • p : un nombre réel

   initialisation :

   • Affecter à n la valeur 0
   • Affecter à p la valeur 635

   traitement :

   • Tant que …

     • Affecter à n la valeur $n+1$
     • Affecter à p la valeur $\mathrm{0,883}\times p$

   • Fin Tant que

   sortie :

   Afficher …

   1. Expliquer l'instruction « Affecter à p la valeur $\mathrm{0,883}\times p$ ».

      Soit p, la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année de rang n. L'année suivante, la norme tolérée, exprimée en milligrammes est $$p\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{11,7}}{100}}\right)=\mathrm{0,883}\times p$$

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   2. Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.

      variables :

      • n : un nombre entier naturel
      • p : un nombre réel

      initialisation :

      • Affecter à n la valeur 0
      • Affecter à p la valeur 635

      traitement :

      • Tant que $p⩾100$

        • Affecter à n la valeur $n+1$
        • Affecter à p la valeur $\mathrm{0,883}\times p$

      • Fin Tant que

      sortie :

      Afficher $2000+n$

3. Pour tout entier naturel n, on note $u_n$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes l'année (2000 + n). On a ainsi $u_0=635$.

   1. Établir que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

      Pour tout entier naturel n, $$u_{n+1}=u_n\times \left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{11,7}}{100}}\right)=\mathrm{0,883}\times u_n$$

      Ainsi, $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,883.

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   2. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n.

      $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=635$ et de raison $q=\mathrm{0,883}$ donc :

      pour tout entier naturel n, $u_n=635\times {\mathrm{0,883}}^n$.

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4. Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif.

   On cherche à déterminer le plus petit entier n tel que : $$\begin{array}{ccc}635\times {\mathrm{0,883}}^n⩽100& \iff & {\mathrm{0,883}}^n⩽{\displaystyle \frac{100}{635}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,883}}^n\right)⩽\ln \left({\displaystyle \frac{100}{635}}\right)\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,883}⩽\ln \left({\displaystyle \frac{100}{635}}\right)\hfill & \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{100}{635}}\right)}{\ln \mathrm{0,883}}}\hfill & \ln \mathrm{0,883}<0\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{100}{635}}\right)}{\ln \mathrm{0,883}}}\approx \mathrm{14,9}$, le plus petit entier n tel que $n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{100}{635}}\right)}{\ln \mathrm{0,883}}}$ est 15.

   L'Union Européenne atteindra son objectif à partir de 2015.

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