sujet : Nouvelle Calédonie septembre 2013

correction de l'exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
$ℝ$ désigne l'ensemble des nombres réels.
Toute bonne réponse rapporte 0,5 point. Une réponse erronée ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Aucune justification n'est demandée.
Le candidat notera le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie sur sa copie.

---

1. Soit $z=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$. Alors son module est :

   $\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$ est une forme exponentielle de z avec $\left|z\right|=\sqrt{2}$ et $\arg \left(z\right)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ à $2\pi$ près.

   La bonne réponse est la réponse a : $\sqrt{2}$

   ---

2. Soit $z=-\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$. Alors un argument est :

   $-\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$ n'est pas une forme exponentielle d'un nombre complexe car $-\sqrt{2}<0$. Comme ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }=-1$ : $$z=-\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}=\sqrt{2}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)}=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{4}}$$

   $\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{4}}$ est une forme exponentielle de z avec $\left|z\right|=\sqrt{2}$ et $\arg \left(z\right)={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$ à $2\pi$ près d'où $-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ est aussi un argument de z.

   La bonne réponse est la réponse c : $-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$

   ---

3. f est définie par $f\left(t\right)=3\cos \left(5t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$. f est solution de :

   la fonction f est dérivable et pour tout réel t : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(t\right)=\mathrm{-}15\sin \left(5t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)& \text{et}& f″\left(t\right)=\mathrm{-}75\cos \left(5t-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\end{array}$$

   D'où pour tout réel t, $f″\left(t\right)+25\times f\left(t\right)=0$

   La bonne réponse est la réponse b : $y″+25y=0$

   ---

4. Les solutions de l'équation $y\prime -2y=0$ sont les fonctions du type :

   Les solutions de l'équation différentielle $y\prime -2y=0$ sont les fonctions de la forme $x⟼k{\mathrm{e}}^{-\left(-2\right)x}$ soit les fonctions de la forme $x⟼k{\mathrm{e}}^{2x}$ où, k est une constante réelle.

   La bonne réponse est la réponse a : $x⟼k{\mathrm{e}}^{2x}$ avec $k\in ℝ$

   ---

5. La solution de l'équation $\ln \left(x+1\right)=3$ est :

   Pour tout réel $x>-1$ : $$\begin{array}{ccccc}\ln \left(x+1\right)=3& \iff & x+1={\mathrm{e}}^3& \iff & x={\mathrm{e}}^3-1\end{array}$$

   La bonne réponse est la réponse c : $\left\{{\mathrm{e}}^3-1\right\}$

   ---

6. L'ensemble des solutions de l'inéquation $2^x-3⩽5$ est :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccccccccc}{2}^x-3⩽5& \iff & {\mathrm{e}}^{x\ln 2}⩽5+3& \iff & x\ln 2⩽\ln 8& \iff & x\ln 2⩽3\ln 2& \iff & x⩽3\end{array}$$

   La bonne réponse est la réponse b : $\left]-\infty ;3\right]$

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesQCMVrai-FauxFonctions logarithmesFonctions exponentiellesÉquations différentiellesNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.