Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie septembre 2013

correction de l'exercice 4

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique.
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10-3 près.

partie a

On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9.
Soit X la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

    Prélever un échantillon de 10 pièces parmi une grande quantité de médailles peut être assimilé à un prélèvement avec remise de 10 médailles.

    La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,9.


  2. Calculer l'espérance mathématique E(X) et l'écart type σ(X) de la variable aléatoire X.

    • L'espérance mathématique de la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale (10;0,9) est E(X)=10×0,9=9

    • L'écart type de la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale (10;0,9) est σ(X)=10×0,9×(1-0,9)=0,9

    E(X)=9 et σ(X)=0,9


  3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.

    P(X8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=(108)×0,98×0,12+(109)×0,99×0,1+0,9100,9298

    remarque : Selon le modèle de calculatrice utilisée, on peut obtenir ce résultat avec P(X8)=1-P(X7)0,9298 ou P(X8)=P(8X10)0,9298

    Arrondie à 10-3 près, la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes est 0,93.


partie b

Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit M la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre.
On suppose que M suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

  1. Déterminer la probabilité P(79M81).

    M, suit la loi normale d'espérance μ=80 et d'écart-type σ=0,6. Avec la calculatrice, on obtient : P(79M81)0,904

    La probabilité qu'une pièce prélevée au hasard ait un diamètre compris entre 79 mm et 81 mm est égale 0,904.


  2. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?

    M suit la loi normale d'espérance 80 donc :

    la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 est égale 0,5.


partie c

On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles.
On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5 % des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.

  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles.

    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles est :I=[0,05-1,96×0,05×0,95300;0,05+1,96×0,05×0,95300]

    Soit en arrondissant à 10-3 près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles est I=[0,025;0,075]


  2. On prélève un échantillon de 300 médailles. On constate que dans cet échantillon, 24 médailles ont une épaisseur non conforme.
    Doit-on réviser le réglage de la machine ?

    n=300, np=300×0,05=15 et n(1-p)=300×0,95=285. Les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    La fréquence f de médailles qui ont une épaisseur non conforme est :f=24300=0,8

    0,8[0,025;0,075], au seuil de confiance de 95 % on prend la décision de réviser le réglage de la machine.



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