sujet : Nouvelle Calédonie septembre 2013

correction de l'exercice 3

partie a

1. 1. Par lecture graphique, déterminer $f\left(1\right)$.

      Le point de coordonnées $\left(1;-1\right)$ appartient à la courbe 𝒞 donc $f\left(1\right)=-1$.

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   2. Déterminer $f\prime \left(1\right)$.

      Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe 𝒞 au point de coordonnées $\left(1;-1\right)$. Or la droite T passe par le point de coordonnées $\left(0;1\right)$ d'où $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1-\left(-1\right)}{0-1}}=-2$$

      $f\prime \left(1\right)=-2$.

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   3. Donner une équation de T.

      La tangente T a pour équation $y=-2x+1$.

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2. On sait que $f\left(x\right)$ est de la forme $f\left(x\right)=2\ln x+{\displaystyle \frac{a}{x}}+b$ où a et b sont des nombres réels.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{a}{x^2}}$

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   2. Déterminer alors les valeurs de a et b.

      • $f\left(1\right)=-1$ d'où $a+b=-1$

      • $f\prime \left(1\right)=-2$ d'où $2-a=-2$

      Ainsi, a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{c}a+b=-1\\ 2-a=-2\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}a=4\hfill \\ b=-5\end{array}\end{array}$$

      f est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2\ln x+{\displaystyle \frac{4}{x}}-5$.

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partie b

Soit la fonction f définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2\ln x+{\displaystyle \frac{4}{x}}-5$.

1. 1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }2\ln x=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{4}{x}}=0$ donc par somme des limites $\underset{x\to +\infty }{\lim }2\ln x+{\displaystyle \frac{4}{x}}-5=+\infty$

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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   2. On admet que $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ?

      $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe 𝒞 a pour asymptote l'axe des ordonnées.

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2. 1. Pour tout nombre réel x appartenant à $\left]0;+\infty \right[$, vérifier que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-4}{x^2}}$.

      $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$ soit :

      pour tout nombre réel x appartenant à $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-4}{x^2}}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $\left]0;+\infty \right[$.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $2x-4$ d'où le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

      x	0		2		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

3. Établir le tableau de variations de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

   x		0			2		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$			$+\infty$		$2\ln 2-3$		$+\infty$

4. En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation $f\left(x\right)=0$, pour x appartenant à $\left]0;+\infty \right[$.

   Le minimum de la fonction f est $f\left(2\right)=2\ln 2-3\approx -\mathrm{1,6}$

   D'après le tableau des variations de la fonction f, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions.

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5. 1. Donner le signe de $f\left(x\right)$ pour x appartenant à $\left[1;3\right]$.

      • Sur l'intervalle $\left]0;2\right]$ la fonction f est strictement décroissante et $f\left(1\right)=-1$ donc pour tout réel x appartenant à $\left[1;2\right]$, $f\left(x\right)⩽0$

      • Sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$ la fonction f est strictement croissante et $f\left(3\right)\approx -\mathrm{1,47}$ donc pour tout réel x appartenant à $\left[2;3\right]$, $f\left(x\right)⩽0$

      Pour tout réel x appartenant à $\left[1;3\right]$, $f\left(x\right)⩽0$.

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   2. On admet que la fonction F définie pour x appartenant à $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\left(2x+4\right)\ln x-7x$ est une primitive de f.
      Déterminer l'aire 𝒜 du domaine limité par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$ en unités d'aires.
      On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10^-2 près de 𝒜.

      Sur l'intervalle $\left[1;3\right]$, $f\left(x\right)⩽0$ par conséquent l'aire 𝒜 du domaine limité par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=3$ en unités d'aires est : $$\begin{array}{ccc}𝒜=-{\displaystyle {\int }_1^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\int }_3^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\hfill \\ & =& F\left(1\right)-F\left(3\right)\hfill \\ & =& -7-\left(10\ln 3-21\right)\hfill \\ & =& 14-10\ln 3\hfill \end{array}$$

      $𝒜=14-10\ln 3$ soit arrondi à 0,01 près 3,01 unités d'aire.

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