Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie septembre 2013

exercice 1 ( 5 points )

La suite un est définie pour tout entier naturel n par un+1=0,4un+3 et u0=-1.

partie a

  1. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de un. On obtient les résultats suivants :

    A B C D E F G H I J K L
    1 Valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    2 Valeur de un -1 2,6 4,04 4,616 4,8464 4,9386 4,9754 4,9902 4,9961 4,9984 4,9994

    Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entré dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

    a. =0,4n+3 b. =$B$2*0,4+3 c. =B2*0,4+3 d. =0,4^C1+3
  2. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite un ?

  3. On considère l'algorithme suivant :

    Variables :

    p et n sont des entiers naturels, u est un nombre réel

    Entrée :

    saisir la valeur de p

    Initialisation :

    n prend la valeur 0, u prend la valeur -1

    Traitement :

    Tant que u-5>10-p

    • n prend la valeur n + 1

    • u prend la valeur 0,4u+3

    Fin du Tant que

    Sortie

    Afficher la valeur de n

    À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque p=2.

partie b

On étudie maintenant la suite vn définie pour tout entier naturel n par vn=6×0,4n.

  1. Donner la nature de la suite vn et ses éléments caractéristiques.

  2. Déterminer la limite de vn quand n tend vers + ∞.

  3. On admet que pour tout entier naturel n : un=5-vn. Déterminer la limite de un.

    1. Déterminer en fonction de n la somme v0+v1++vn.

    2. En déduire en fonction de n la somme u0+u1++un.


EXERCICE 2 ( 3 points )

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
désigne l'ensemble des nombres réels.
Toute bonne réponse rapporte 0,5 point. Une réponse erronée ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Aucune justification n'est demandée.
Le candidat notera le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie sur sa copie.

Réponse aRéponse bRéponse c

1

Soit z=2eiπ4 . Alors son module est :

2

-2

2

2

Soit z=-2eiπ4 . Alors un argument est :

π4

-π4

-3π4

3

f est définie par ft=3cos5t-π2. f est solution de :

y+3y=0

y+25y=0

y-5y=0

4

Les solutions de l'équation y-2y=0 sont les fonctions du type :

xke2x avec k

xke-2x avec k

xke2x+k avec k

5

La solution de l'équation lnx+1=3 est :

1-e3

1+e3

e3-1

6

L'ensemble des solutions de l'inéquation 2x-35 est :

-ln8

-3

-ln3ln5


exercice 3 ( 7 points )

partie a

f est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle 0+.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Par lecture graphique, déterminer f1.

    2. Déterminer f1.

    3. Donner une équation de T.

  1. On sait que fx est de la forme fx=2lnx+ax+ba et b sont des nombres réels.

    1. Calculer fx.

    2. Déterminer alors les valeurs de a et b.

partie b

Soit la fonction f définie et dérivable sur 0+ par fx=2lnx+4x-5.

    1. Déterminer limx+fx.

    2. On admet que limx0fx=+. Que peut-on en déduire graphiquement ?

    1. Pour tout nombre réel x appartenant à 0+, vérifier que fx=2x-4x2.

    2. Étudier le signe de fx sur 0+.

  1. Établir le tableau de variations de f sur 0+.

  2. En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation fx=0, pour x appartenant à 0+.

    1. Donner le signe de fx pour x appartenant à 13.

    2. On admet que la fonction F définie pour x appartenant à 0+ par Fx=2x+4lnx-7x est une primitive de f.
      Déterminer l'aire 𝒜 du domaine limité par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=3 en unités d'aires.
      On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à 10-2 près de 𝒜.


EXERCICE 4 ( 5 points )

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique.
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10-3 près.

partie a

On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9.
Soit X la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

  2. Calculer l'espérance mathématique EX et l'écart type σX de la variable aléatoire X.

  3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.

partie b

Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit M la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre.
On suppose que M suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

  1. Déterminer la probabilité P79M81.

  2. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?

partie c

On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles.
On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5 % des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.

  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de 300 médailles.

  2. On prélève un échantillon de 300 médailles. On constate que dans cet échantillon, 24 médailles ont une épaisseur non conforme.
    Doit-on réviser le réglage de la machine ?



Rechercher des exercices regoupés par thème

[ Accueil ]

L'affichage recommandé pour une meilleure lisibilité est de 1280 × 1024.

math@es

✉ A.Yallouz

Powered by MathJax