sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

correction de l'exercice 1

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.
On considère les nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z_1$ définis par $z_1=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$, $z_2={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$ et $z_3={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{12}}$

1. Déterminer l'écriture exponentielle de $z_1$

   L'écriture exponentielle d'un nombre complexe z est $z=\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\theta }}$ où ρ est le module de z et θ un argument de z

   • Le module du nombre complexe $z_1=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ est $\left|z_1\right|=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4}=2$.

   • Un argument θ du nombre complexe $z_1=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ est tel que $\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\hfill \end{array}$. D'où $z_1$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

   Ainsi, $z_1=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$

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2. Déterminer l'écriture algébrique de $z_2$.

   Le nombre complexe $z_2={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}$ a pour module 1 et pour argument $\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$ d'où $$z_2=\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

   L'écriture algébrique de $z_2$ est donc $z_2={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

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3. Démontrer que $z_1\times z_2=2z_3$.

   $$\begin{array}{ccc}{z}_1\times z_2& =& 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{4}}\hfill \\ & =& 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)}\hfill \\ & =& 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{12}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $z_1\times z_2=2z_3$.

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4. En déduire l'écriture algébrique de $z_3$.

   $$\begin{array}{ccc}{z}_3& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times z_1\times z_2\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\times \left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}-{\mathrm{i}}^2{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\hfill \end{array}$$

   L'écriture algébrique de $z_3$ est $z_3={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$.

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5. En déduire que $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$.

   Une forme trigonométrique de $z_3={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{12}}$ est $z_3=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)+\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$. D'après le résultat de la question précédente, on obtient :

   $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$.

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