sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

correction de l'exercice 2

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92 % des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes.
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à ${10}^{-2}$ près.

1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.

   1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.

      La proportion p de sachets efficaces est égale à 0,92. La taille n de l'échantillon considéré est égale à 100.

      Comme $n=100$, $n\times p=92$ et $n\times \left(1-p\right)=8$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,92}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,92}\times \mathrm{0,08}}{100}}};\mathrm{0,92}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,92}\times \mathrm{0,08}}{100}}}\right]\end{array}$$

      Soit en arrondissant à ${10}^{-2}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100 est $I=\left[\mathrm{0,87};\mathrm{0,97}\right]$.

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   2. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?

      La fréquence observée des plantes résistantes dans l'échantillon est $$f={\displaystyle \frac{88}{100}}=\mathrm{0,88}$$

      La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%, donc l'hypothèse selon laquelle 92 % des sachets sont efficaces n'est pas remise en cause.

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2. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=\mathrm{0,92}$.

   1. Déterminer l'espérance et l'écart type de X (arrondi à 0,01 près).

      La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=\mathrm{0,92}$ donc :

      $E\left(x\right)=100\times \mathrm{0,92}=92$ et $\sigma \left(x\right)=\sqrt{100\times \mathrm{0,92}\times \mathrm{0,08}}\approx \mathrm{2,71}$

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   2. La variable aléatoire X peut être approchée par la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7.
      En utilisant la variable aléatoire Y, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94, c'est-à-dire calculer $P\left(89⩽Y⩽94\right)$.

      Avec la calculatrice, on obtient $P\left(89⩽Y⩽94\right)\approx \mathrm{0,64}$

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