sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

correction de l'exercice 4

On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative 𝒞 d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$, dans un repère orthonormé du plan.
On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.
La courbe 𝒞 passe par le point $A\left(0;5\right)$ et par le point B d'abscisse 2.
La tangente $T_A$ à la courbe au point A passe par le point $C\left(1;1\right)$ et la tangente $T_B$ au point B est horizontale.

partie a

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

1. La valeur de $f\left(0\right)$ est :

   La courbe 𝒞 passe par le point $A\left(0;5\right)$ donc $f\left(0\right)=5$

   a.  − 4

   b.  4

   c.  1,2

   d.  autre réponse

2. La valeur de $f\prime \left(0\right)$ est :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente $T_A$ à la courbe au point $A\left(0;5\right)$ or cette tangente passe également par le point $C\left(1;1\right)$ d'où $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}}& \text{Soit}& f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{1-5}{1-0}}=-4\end{array}$$

   a.  − 4

   b.  4

   c.  1,2

   d.  autre réponse

3. La valeur de $f\prime \left(2\right)$ est :

   La tangente $T_B$ à la courbe au point B d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(2\right)=0$

   a.  0

   b.  2,1

   c.  3

   d.  autre réponse

4. Un encadrement de ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ par des entiers naturels est :

   L'intégrale ${\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe 𝒞 l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.
   Or cette aire est visiblement supérieure à 5 unités d'aire.

   a.  $3⩽{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽4$

   b.  $5⩽{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽7$

   c.  $2⩽{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽5$

   d.  $0⩽{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽2$

partie b

La fonction f représentée dans la partie a est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(-x^2-2x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}+3$.

1. On admet que la limite de la fonction f en $+\infty$ est 3. Déterminer la limite de f en $-\infty$.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^2-2x+2\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }-x^2=-\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x}=+\infty$ donc par produit des limites, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^2-2x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}=-\infty$ d'où $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^2-2x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}+3=-\infty$.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

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2. On désigne par $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f et on admet que pour tout nombre réel x appartenant à $ℝ$, $f\prime \left(x\right)=\left(x^2-4\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$. D'où le tableau établissant le signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs de x :

      x	− ∞		− 2		2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   2. En déduire le tableau de variation de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	− ∞		− 2		2		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$	− ∞		$2{\mathrm{e}}^2+3$		$3-6{\mathrm{e}}^{-2}$		3

3. On considère la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=\left(x^2+4x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}+3x$. Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

   Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Calculons la dérivée de la fonction F :

   Soit g la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=\left(x^2+4x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.
   g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $g=uv$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^2+4x+2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=2x+4\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\hfill \end{array}$

   Comme pour tout réel x, $F\left(x\right)=g\left(x\right)+3x$, on en déduit que $F\prime \left(x\right)=g\prime \left(x\right)+3$. Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& \left(2x+4\right){\mathrm{e}}^{-x}-\left(x^2+4x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}+3\hfill \\ & =& \left(2x+4-x^2-4x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}+3\hfill \\ & =& \left(-x^2-2x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}+3\hfill \end{array}$$

   Pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

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4. On considère le domaine 𝒟 du plan limité par la courbe 𝒞 l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.

   1. Calculer la valeur exacte de l'aire 𝒜, exprimée en unités d'aire, du domaine 𝒟.

      Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ la fonction f est strictement décroissante et $f\left(2\right)=3-6{\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{2,19}$ donc f est positive sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

      Par conséquent, l'aire 𝒜, exprimée en unités d'aire, du domaine 𝒟 est égale à l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ : $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(2\right)-F\left(0\right)\hfill \\ & =& 14{\mathrm{e}}^{-2}+6-2\hfill \\ & =& 14{\mathrm{e}}^{-2}+4\hfill \end{array}$$

      $𝒜=14{\mathrm{e}}^{-2}+4$ unités d'aire.

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   2. Donner une valeur approchée de 𝒜 au centième.

      $𝒜\approx \mathrm{5,89}$ unités d'aire.

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