L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. Il peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité.
On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant 106 noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3 %.
On note le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de n jours. On a donc .
Calculer puis .
et .
Exprimer en fonction de . En déduire la nature de la suite .
Pour tout entier n, donc est une suite géométrique de raison 0,917.
Exprimer en fonction de n.
est une suite géométrique de raison 0,917 et de premier terme donc pour tout entier n, .
Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié. Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131.
Le nombre de noyaux aura diminué au moins de moitié à partir nombre de jours n, plus petit entier solution de l'inéquation :
Or par conséquent :
La demi-vie de l'iode 131 est d'environ 8 jours.
On considère l'algorithme suivant:
1 | variables : | n et u sont des nombres |
2 | initialisation : | Affecter la valeur 0 à n |
3 | Affecter la valeur 106 à u | |
4 | traitement : | Tant que |
5 | n prend la valeur | |
6 | u prend la valeur | |
7 | Fin tant que | |
8 | sortie : | Afficher n |
À quoi correspond la valeur n en sortie de cet algorithme ?
La valeur n affichée en sortie de cet algorithme correspond à la demi-vie de l'iode 131.
Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ?
Le résultat affiché est 8.
Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3 %.
Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de 108 noyaux ?
On note le nombre de noyaux de Césium 137 au bout de n jours, on a donc pour tout entier n, est une suite géométrique de raison 0,977. Donc pour tout entier n,
La demi-vie du Césium 137 est le plus petit entier n solution de l'inéquation :
Ainsi, la demi-vie du Césium 137 ne dépend pas du nombre de noyaux initial.
Pour trouver la demi-vie du Césium 137, il suffit donc de modifier ainsi la ligne 6 : «u prend la valeur ».
remarque
Les modifications suivantes sont également acceptables :
1 | variables : | n et u sont des nombres | 1 | variables : | n et u sont des nombres | |
2 | initialisation : | Affecter la valeur 0 à n | 2 | initialisation : | Affecter la valeur 0 à n | |
3 | Affecter la valeur 108 à u | 3 | Affecter la valeur 1 à u | |||
4 | traitement : | Tant que | 4 | traitement : | Tant que | |
5 | n prend la valeur | 5 | n prend la valeur | |||
6 | u prend la valeur | 6 | u prend la valeur | |||
7 | Fin tant que | 7 | Fin tant que | |||
8 | sortie : | Afficher n | 8 | sortie : | Afficher n |
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.