Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

correction de l'exercice 3

L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. Il peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité.
On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant 106 noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3 %.
On note un le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de n jours. On a donc u0=106.

  1. Calculer u1 puis u2.

    u1=106×(1-8,3100)=106×0,917=917 000

    u2=917 000×0,917=840889

    u1=917 000 et u2=840 889.


  2. Exprimer un+1 en fonction de un. En déduire la nature de la suite (un).

    Pour tout entier n, un+1=0,917×un donc (un) est une suite géométrique de raison 0,917.


  3. Exprimer un en fonction de n.

    (un) est une suite géométrique de raison 0,917 et de premier terme u0=106 donc pour tout entier n, un=106×0,917n.


  4. Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié. Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131.

    Le nombre de noyaux aura diminué au moins de moitié à partir nombre de jours n, plus petit entier solution de l'inéquation :

    106×0,917n0,5×1060,917n0,5ln(0,917n)ln0,5La fonction logarithme est croissanten×ln0,917ln0,5Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier  nlnan=nlnanln0,5ln0,917ln(0,917)  négatif

    Or ln0,5ln0,9178 par conséquent :

    La demi-vie de l'iode 131 est d'environ 8 jours.


  5. On considère l'algorithme suivant:

    1 variables : n et u sont des nombres
    2 initialisation : Affecter la valeur 0 à n
    3 Affecter la valeur 106 à u
    4 traitement : Tant que u>1062
    5 n prend la valeur n+1
    6 u prend la valeur u×0,917
    7 Fin tant que
    8 sortie : Afficher n
    1. À quoi correspond la valeur n en sortie de cet algorithme ?

      La valeur n affichée en sortie de cet algorithme correspond à la demi-vie de l'iode 131.


    2. Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ?

      Le résultat affiché est 8.


    3. Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3 %.
      Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de 108 noyaux ?

      On note vn le nombre de noyaux de Césium 137 au bout de n jours, on a donc pour tout entier n, vn+1=(1-2,3100)×vn=0,977×vn(vn) est une suite géométrique de raison 0,977. Donc pour tout entier n, vn=v0×0,977n

      La demi-vie du Césium 137 est le plus petit entier n solution de l'inéquation :

      v0×0,977n0,5×v00,977n0,5

      Ainsi, la demi-vie du Césium 137 ne dépend pas du nombre de noyaux initial.

      Pour trouver la demi-vie du Césium 137, il suffit donc de modifier ainsi la ligne 6 : «u prend la valeur u×0,977».


      remarque

      Les modifications suivantes sont également acceptables :

       1  variables : n et u sont des nombres  1  variables : n et u sont des nombres
      2 initialisation : Affecter la valeur 0 à n 2 initialisation : Affecter la valeur 0 à n
      3 Affecter la valeur 108 à u 3 Affecter la valeur 1 à u
      4 traitement : Tant que u>1082 4 traitement : Tant que u>0,5
      5 n prend la valeur n+1 5 n prend la valeur n+1
      6 u prend la valeur u×0,977 6 u prend la valeur u×0,977
      7 Fin tant que 7 Fin tant que
      8 sortie : Afficher n 8 sortie : Afficher n

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