Baccalauréat technologique 2013 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie mars 2014

exercice 1 ( 4 points )

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π2.

On considère les nombres complexes z1, z2 et z1 définis par :z1=1+i3z2=e-iπ4etz3=eiπ12

  1. Déterminer l'écriture exponentielle de z1

  2. Déterminer l'écriture algébrique de z2.

  3. Démontrer que z1×z2=2z3.

  4. En déduire l'écriture algébrique de z3.

  5. En déduire que cosπ12=2+64 et sinπ12=-2+64.


exercice 2 ( 4 points )

Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92 % des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes.

Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à 10-2 près.

  1. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets.

    1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille 100.

    2. Dans le prélèvement de 100 sachets, 88 donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?

  2. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0,92.

    1. Déterminer l'espérance et l'écart type de X (arrondi à 0,01 près).

    2. La variable aléatoire X peut être approchée par la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance 92 et d'écart type 2,7.
      En utilisant la variable aléatoire Y, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre 89 et 94, c'est-à-dire calculer P89Y94.


exercice 3 ( 5 points )

L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. Il peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité.
On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant 106 noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3 %.
On note un le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de n jours. On a donc u0=106.

  1. Calculer u1 puis u2.

  2. Exprimer un+1 en fonction de un.
    En déduire la nature de la suite un.

  3. Exprimer un en fonction de n.

  4. Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
    Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131.

  5. On considère l'algorithme suivant:

    1 variables : n et u sont des nombres
    2 initialisation : Affecter la valeur 0 à n
    3 Affecter la valeur 106 à u
    4 traitement : Tant que u>1062
    5 n prend la valeur n+1
    6 u prend la valeur u×0,917
    7 Fin tant que
    8 sortie : Afficher n
    1. À quoi correspond la valeur n en sortie de cet algorithme ?

    2. Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ?

    3. Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3 %.
      Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de 108 noyaux ?


exercice 4 ( 7 points )

On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative 𝒞 d'une fonction f définie et dérivable sur , dans un repère orthonormé du plan.
On note f la fonction dérivée de f.
La courbe 𝒞 passe par le point A05 et par le point B d'abscisse 2.
La tangente TA à la courbe au point A passe par le point C11 et la tangente TB au point B est horizontale.

Courbe représentative de la fonctions f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

  1. La valeur de f0 est :

     a.  − 4

     b.  4

     c.  1,2

     d.  autre réponse

  2. La valeur de f0 est :

     a.  − 4

     b.  4

     c.  1,2

     d.  autre réponse

  3. La valeur de f2 est :

     a.  0

     b.  2,1

     c.  3

     d.  autre réponse

  4. Un encadrement de 02fxdx par des entiers naturels est :

     a.  302fxdx4

     b.  502fxdx7

     c.  202fxdx5

     d.  002fxdx2

partie b

La fonction f représentée dans la partie a est définie sur par fx=-x2-2x+2e-x+3.

  1. On admet que la limite de la fonction f en + ∞ est 3. Déterminer la limite de f en − ∞.

  2. On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f et on admet que pour tout nombre réel x appartenant à , fx=x2-4e-x.

    1. Étudier le signe de fx suivant les valeurs de x.

    2. En déduire le tableau de variation de la fonction f.

  3. On considère la fonction F définie sur par Fx=x2+4x+2e-x+3x.
    Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur .

  4. On considère le domaine 𝒟 du plan limité par la courbe 𝒞 l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=2.

    1. Calculer la valeur exacte de l'aire 𝒜, exprimée en unités d'aire, du domaine 𝒟.

    2. Donner une valeur approchée de 𝒜 au centième.



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✉ A.Yallouz

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