Baccalauréat technologique 2014 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2014

correction de l'exercice 1

Au 1^er janvier 2014, un particulier installe 20 m² de panneaux photovoltaïques à son domicile.
Pour estimer la rentabilité de cette installation, il utilise la documentation suivante :

En France 1 m² de panneaux photovoltaïques correctement orientés produit environ 95 kWh/an.
La première année, une installation produit effectivement cette quantité et on estime que la perte de rendement est de 3 % par an.
La rentabilité financière est assurée à partir du moment où la quantité totale d'énergie produite depuis le début de l'installation dépasse 20000.

Pour tout entier $n ⩾ 0$ , on note $u_{n}$ la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année $(2014 + n)$ .

partie a

1. Déterminer la quantité d'énergie produite en 2014 et la quantité d'énergie produite en 2015.
  - Au 1^er janvier 2014, un particulier installe 20 m² de panneaux photovoltaïques d'où une quantité d'énergie produite en 2014 : $20 \times 95 = 1900$
  - En 2015, la perte de rendement est de 3 % par an d'où une quantité d'énergie produite en 2015 : $1900 \times (1 - \frac{3}{100}) = 1843$
  En 2014, la quantité d'énergie produite est de 1900 kWh et la quantité d'énergie produite en 2015 est de 1843 kWh.
2. Vérifier que $u_{n + 1} = 0,97 u_{n}$ . pour tout entier naturel n .
  La perte de rendement étant de 3 % par an, pour tout entier n , $u_{n + 1} = u_{n} \times (1 - \frac{3}{100}) = 0,97 u_{n}$
  Ainsi, pour tout entier n , $u_{n + 1} = 0,97 u_{n}$ .
Quelle estimation, à la dizaine de kWh près, peut-on donner de la quantité d'énergie produite en 2044 ?
Pour tout entier n , $u_{n + 1} = 0,97 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,97. D'autre part, $u_{0} = 1900$ donc pour tout entier n , $u_{n} = 1900 \times {0,97}^{n}$ .
La quantité d'énergie produite en 2044 sera : $u_{30} = 1900 \times {0,97}^{30} \approx 761,9$
En 2044, la quantité d'énergie produite sera d'environ 760 Kw/h.
Que devient la quantité d'énergie produite annuellement au bout d'un grand nombre d'années ?
$0 < 0,97 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,97}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .
La suite $(u_{n})$ converge vers 0. Par conséquent, au bout au bout d'un grand nombre d'années, la quantité d'énergie produite sera quasiment nulle.
En quelle année l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement ?
Le rang de l'année est le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{matrix} {0,97}^{n} < 0,5 & \Leftrightarrow & \ln ({0,97}^{n}) < \ln 0,5 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,97 < \ln 0,5 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,5}{\ln 0,97} & \ln 0,97 < 0 \end{matrix}$
Comme $\frac{\ln 0,5}{\ln 0,97} \approx 22,8$ alors, le plus petit entier $n > \frac{\ln 0,5}{\ln 0,97}$ est 23.
L'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement en 2037.

partie b

On considère l'algorithme ci-dessous :

1	VARIABLES
2	u est du type nombre
3	S est du type nombre
4	n est du type nombre
5	DÉBUT ALGORITHME
6	n prend la valeur 0
7	u prend la valeur 1900
8	S prend la valeur 1900
9	tant que $(S < 20000)$ faire
10	début tant que
11	n prend la valeur $n + 1$
12	u prend la valeur $u \times 0,97$
13	S prend la valeur $S + u$
14	fin tant que
15	afficher n
16	FIN ALGORITHME

1. À quoi sert la ligne 8 ?
  En 2014, la quantité d'énergie produite est de 1900 kWh donc la quantité totale d'énergie produite depuis le début de l'installation est de 1900 kWh.
  La ligne 8 ser à initialiser la quantité totale d'énergie produite depuis le début de l'installation.
2. La valeur affichée en exécutant cet algorithme est 12. Que signifie ce résultat ?
  La rentabilité financière est assurée à partir de 2026.
On estime que la durée de vie de l'installation sera d'environ 25 ans. Calculer $u_{0} + u_{1} + u_{2} + \dots + u_{24}$ et interpréter le résultat.
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,97 et de premier terme $u_{0} = 1900$ donc la somme des 25 premiers termes de cette suite est : $u_{0} + u_{1} + u_{2} + \dots + u_{24} = 1900 \times \frac{1 - {0,97}^{25}}{1 - 0,97} \approx 33758$
En 25 ans, la quantité totale d'énergie produite est d'environ 33 760 kWh.

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.