sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2014

correction de l'exercice 2

Un grand constructeur automobile propose une nouvelle gamme de véhicules électriques équipés de batteries au nickel-cadmium.

partie a

On s'intéresse à l'autonomie en kilomètres de cette nouvelle gamme de véhicules.
Soit X la variable aléatoire qui à un véhicule tiré au hasard associe son autonomie en km. On suppose que X suit la loi normale de moyenne $\mu =104$ et d'écart type $\sigma =6$.
On arrondira les résultats à ${10}^{-2}$ près.

On considère qu'un véhicule est conforme lorsque son autonomie est comprise entre 92 et 116. Déterminer la probabilité que le véhicule soit déclaré conforme.

À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(92⩽X⩽116\right)\approx \mathrm{0,95}$.

La probabilité qu'un véhicule soit déclaré conforme est 0,95.

---

partie b

Les véhicules sont parqués par lots de 75 avant de recevoir leur certificat de conformité.
Soit Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 75 véhicules choisis au hasard dans la production associe le nombre de véhicules non-conformes dans cet échantillon.
La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 75 véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.
On suppose que la probabilité qu'un véhicule soit non-conforme est 0,05.

1. Expliquer pourquoi Y suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.

   La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 75 véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise donc Y suit une loi binomiale de paramètres $n=75$ et $p=\mathrm{0,05}$.

   ---

2. Calculer la probabilité de l'évènement « dans l'échantillon prélevé au hasard, tous les véhicules sont conformes ». On arrondira le résultat à ${10}^{-2}$ près.

   $$P\left(X=0\right)={\left(1-\mathrm{0,05}\right)}^{75}={\mathrm{0,95}}^{75}\approx \mathrm{0,02}$$

   La probabilité que dans l'échantillon prélevé au hasard, tous les véhicules sont conformes est 0,02.

   ---

partie c

Le constructeur automobile veut juger de l'impact d'une campagne publicitaire menée dans les médias pour la vente de cette nouvelle gamme de véhicules.
Dans un échantillon, considéré comme prélevé au hasard et avec remise, de 1000 véhicules produits, on constate la vente de 148 véhicules avant la campagne publicitaire.
Sur une même période, après la campagne publicitaire, pour un échantillon de même taille et prélevé dans les mêmes conditions, on constate la vente de 177 véhicules.

Que peut-on en conclure sur la campagne publicitaire ?
Vous pourrez déterminer les intervalles de confiance avec un niveau de confiance de 95 % correspondant à chacune de ces situations.

• La fréquence $f_A$ de véhicules vendus dans l'échantillon avant la campagne publicitaire est :$f_A={\displaystyle \frac{148}{1000}}=\mathrm{0,148}$

  L'intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 %, pour la proportion $p_A$ de véhicules vendus avant la campagne publicitaire est :$$\begin{array}{ccc}{I}_A=\left[\mathrm{0,148}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,148}\times \left(1-\mathrm{0,148}\right)}{1000}}};\mathrm{0,148}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,148}\times \left(1-\mathrm{0,148}\right)}{1000}}}\right]& \text{Soit}& I_A=\left[\mathrm{0,125};\mathrm{0,171}\right]\end{array}$$

• La fréquence $f_B$ de véhicules vendus dans l'échantillon après la campagne publicitaire est :$f_B={\displaystyle \frac{177}{1000}}=\mathrm{0,177}$

  L'intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 %, pour la proportion $p_B$ de véhicules vendus après la campagne publicitaire est :$$\begin{array}{ccc}{I}_B=\left[\mathrm{0,177}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,177}\times \left(1-\mathrm{0,177}\right)}{1000}}};\mathrm{0,177}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,177}\times \left(1-\mathrm{0,177}\right)}{1000}}}\right]& \text{Soit}& I_B=\left[\mathrm{0,153};\mathrm{0,201}\right]\end{array}$$

Les deux intervalles $I_A=\left[\mathrm{0,125};\mathrm{0,171}\right]$ et $I_B=\left[\mathrm{0,153};\mathrm{0,201}\right]$ ne sont pas disjoints car $I_A\cap I_B=\left[\mathrm{0,153};\mathrm{0,171}\right]$.

Au seuil de 5 %, la différence entre les deux fréquences observées $f_A$ et $f_B$ avant et après la campagne publicitaire n'est pas pas significative.

---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesQCMVrai-FauxFonctions logarithmesFonctions exponentiellesÉquations différentiellesNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.