sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2014

correction de l'exercice 4

Un réservoir contient 1000 litres d'eau potable. À la suite d'un incident de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de 10 litres par minute.
On s'intéresse à la salinité de cette eau, c'est-à-dire au taux de sel (en grammes par litre), qui doit rester inférieure à 3,9 g.L^-1.
On modélise la situation en notant s la salinité exprimée en grammes par litre et t le temps écoulé en minutes depuis le début de l'incident. On suppose que l'évolution de s est représentée par l'équation différentielle $$\begin{array}{cc}\left(\text{E}\right):& y\prime +\mathrm{0,01}y=\mathrm{0,39}\end{array}$$

1. Résoudre l'équation (E).

   L'équation différentielle $y\prime +\mathrm{0,01}y=\mathrm{0,39}$ est de la forme $y\prime +ay=b$ avec $a=\mathrm{0,01}$ et $b=\mathrm{0,39}$.
   

   Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $y\left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,39}}{\mathrm{0,01}}}$ soit $y\left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}+39$ où k est une constante réelle quelconque.

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   On admet pour la suite qu'en considérant les conditions initiales, la fonction s est définie par $s\left(t\right)=39-\mathrm{38,88}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}$.

2. 1. Quelle est la salinité de l'eau dans le réservoir avant l'incident c'est-à-dire à $t=0$ ?

      $$s\left(0\right)=39-\mathrm{38,88}{\mathrm{e}}^0=39-\mathrm{38,88}=\mathrm{0,12}$$

      Avant l'incident, la salinité de l'eau dans le réservoir était de 0,12 g.L^-1.

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   2. Justifier que la fonction s est strictement croissante.

      Soit $s\prime$ la dérivée de la fonction s :$$\begin{array}{ccc}s\prime \left(t\right)=-\mathrm{38,88}\times \left(-\mathrm{0,01}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}& \iff & s\prime \left(t\right)=\mathrm{0,3888}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}\end{array}$$

      Or pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}>0$ donc $s\prime \left(t\right)>0$.

      Comme $s\prime \left(t\right)>0$ alors, la fonction s est strictement croissante.

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   3. Déterminer la salinité de l'eau du réservoir 60 minutes après le début de l'incident. Arrondir à ${10}^{-2}$ près.

      $$s\left(60\right)=39-\mathrm{38,88}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}\times 60}=39-\mathrm{38,88}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,06}}\approx \mathrm{17,66}$$

      60 minutes après le début de l'incident, la salinité de l'eau dans le réservoir est d'environ 17,66 g.L^-1.

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   4. Que devient la salinité de l'eau du réservoir si on n'intervient jamais ?

      $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}=0$ donc $\underset{t\to +\infty }{\lim }39-\mathrm{38,88}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}=39$

      $\underset{t\to +\infty }{\lim }s\left(t\right)=39$ donc si si on n'intervient jamais, la salinité de l'eau dans le réservoir sera proche 39 g.L^-1.

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3. La salinité doit rester inférieure à 3,9 g.L^-1. De combien de temps le service de surveillance dispose-t-il pour arrêter l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident ? Justifier la réponse.

   t solution de l'inéquation : $$\begin{array}{cccc}39-\mathrm{38,88}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}<\mathrm{3,9}& \iff & -\mathrm{38,88}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}<-\mathrm{35,1}\hfill & \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}>{\displaystyle \frac{\mathrm{35,1}}{\mathrm{38,88}}}\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,01}t}\right)>\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{35,1}}{\mathrm{38,88}}}\right)\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\hfill \\ & \iff & -\mathrm{0,01}t>\ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{35,1}}{\mathrm{38,88}}}\right)\hfill & \text{Pour tout réel }x\text{, }\ln {\mathrm{e}}^x=x\hfill \\ & \iff & t<-100\times \ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{35,1}}{\mathrm{38,88}}}\right)\hfill & \approx \mathrm{10,2}\hfill \end{array}$$

   Le service de surveillance dispose de 10 minutes pour arrêter l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident.

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