sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2014

correction de l'exercice 3

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est attendue. Une bonne réponse apporte 1 point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points.

Dans les questions 1. et 2. on considère la fonction f définie sur $\left]7;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=3x^2+x+{\displaystyle \frac{1}{{\left(x-7\right)}^2}}$.

1. Une primitive F de f est donnée par :

   Cherchons une primitive de la fonction g définie sur l'intervalle $\left]7;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{{\left(x-7\right)}^2}}$.

   $g={\displaystyle \frac{u\prime }{u^2}}$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]7;+\infty \right[$ : $u\left(x\right)=x-7$ et $u\prime \left(x\right)=1$. Une primitive G de la fonction g est donnée par $\begin{array}{c}G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x-7}}\end{array}$

   Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left]7;+\infty \right[$ par :$$F\left(x\right)=3\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x-7}}=x^3+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x-7}}$$

   1. $F\left(x\right)=6x+1+{\displaystyle \frac{2}{{\left(x-7\right)}^3}}$

   2. $F\left(x\right)=x^3+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{x-7}}$

   3. $F\left(x\right)=9x^3+2x^2+{\displaystyle \frac{1}{x-7}}$

   4. $F\left(x\right)=x^3+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+\ln \left(x-7\right)$

2. Laquelle des limites suivantes est correcte ?

   $\underset{\underset{x>7}{x\to 7}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{{\left(x-7\right)}^2}}=+\infty$ et $\underset{\underset{x>7}{x\to 7}}{\lim }3x^2+x=154$ donc par somme des limites, $\underset{\underset{x>7}{x\to 7}}{\lim }3x^2+x+{\displaystyle \frac{1}{{\left(x-7\right)}^2}}=+\infty$

   1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

   2. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

   3. $\underset{\underset{x>7}{x\to 7}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

   4. $\underset{\underset{x>7}{x\to 7}}{\lim }f\left(x\right)=154$

3. Soit $z=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ alors l'écriture exponentielle du conjugué de z est :

   • Le conjugué du nombre complexe $z=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ est le nombre complexe $\bar{z}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

   • Le module du nombre complexe $\bar{z}$ est : $$\left|\bar{z}\right|=\sqrt{{\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\left(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}=1$$

   • Un argument θ du nombre complexe $\bar{z}$ est tel que :$$\{\begin{array}{c}\cos \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}$$ D'où $\bar{z}$ a pour argument $\mathrm{\theta }=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $\bar{z}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}-\mathrm{i}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ est donc $\bar{z}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$.

   1. $\bar{z}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$

   2. $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

   3. $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

   4. $\bar{z}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi }{3}}$

4. Un argument de $z=\sqrt{7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi }{7}}$ est :

   $$z=\sqrt{7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi }{7}}=\sqrt{7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{3\pi }{7}\right)}=\sqrt{7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{14}}$$ Un argument de $z=\sqrt{7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{14}}$ est ${\displaystyle \frac{\mathrm{<mi>\pi </mi>}}{14}}$

   1. ${\displaystyle \frac{\mathrm{<mi>\pi </mi>}}{14}}$

   2. ${\displaystyle \frac{13\pi }{14}}$

   3. $-{\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$

   4. $\sqrt{7}$

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