Baccalauréat technologique 2014 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Polynésie septembre 2014

correction de l'exercice 1

On considère les nombres complexes Z1 et Z2 :Z1=321+ietZ2=4i1+i3

  1. Écrire les nombres Z1 et Z2 sous forme algébrique et trigonométrique.

    • Forme algébrique de Z1 :Z1=321+i=32×(1-i)(1+i)(1-i)=32-32i2

      Z1=322-322i


      Forme trigonométrique de Z1 :

      • Le module du nombre complexe Z1=322-322i est : |Z1|=(322)2+(-322)2=92+92=9=3

      • Un argument θ du nombre complexe Z1 est tel que :{cosθ=322×3=22sinθ=-322×3=-22. D'où Z1 a pour argument θ=-π4

      Z1=3(cos(-π4)+isin(-π4))


    • Forme algébrique de Z2 :Z1=4i1+i3=4i×(1-i3)(1+i3)(1-i3)=4i+434

      Z2=3+i


      Forme trigonométrique de Z2 :

      • Le module du nombre complexe Z2=3+i est : |Z2|=3+1=4=2

      • Un argument θ du nombre complexe Z2 est tel que : {cosθ=32sinθ=12. D'où Z2 a pour argument θ=π6

      Z2=2(cosπ6+isinπ6)


  2. Placer les points A1 et A2 d'affixes respectives Z1 et Z2 dans le repère donné en annexe.

    Points A1 et A2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. Calculer sous forme algébrique le produit Z1×Z2 et donner sa forme trigonométrique.

    • Forme algébrique du produit Z1×Z2 : Z1×Z2=(322-322i)×(3+i)=362+322i-362i+322=3(6+2)2-3(6-2)2i

    • Forme trigonométrique du produit Z1×Z2 : Z1×Z2=3×(cos(-π4)+isin(-π4))×2×(cosπ6+isinπ6)=6×(cos(π6-π4)+isin(π6-π4))=6(cos(-π12)+isin(-π12))

    Z1×Z2=3(6+2)2-3(6-2)2i soit sous sa forme trigonométrique Z1×Z2=6(cos(-π12)+isin(-π12))


  4. En déduire les valeurs exactes de cosπ12 et sinπ12.

    Z1×Z2=6(cos(-π12)+isin(-π12))=6(cosπ12-isinπ12). Par conséquent, 6cosπ12=3(6+2)2cosπ12=6+24et6sinπ12=3(6-2)2sinπ12=6-24

    Ainsi, cosπ12=6+24 et sinπ12=6-24.



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