sujet : Polynésie septembre 2014

correction de l'exercice 4

partie a : Loi exponentielle et radioactivité

On modélise la durée de vie T (exprimée en jours) d'un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. On rappelle que pour tout $t>0$, $P\left(T⩽t\right)={\displaystyle {\int }_0^t\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x}$.
Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que :$$P\left(T⩾18\right)=P\left(T⩽18\right)=\mathrm{0,5}$$

1. Montrer que pour tout $t>0$, $P\left(T⩽t\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$.

   $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_0^t\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[-{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\right]}_0^t}\hfill \\ & =& -{\mathrm{e}}^{-\lambda t}+{\mathrm{e}}^0\hfill \\ & =& 1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\hfill \end{array}$$

   Pour tout $t>0$, $P\left(T⩽t\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$.

   ---

2. Calculer la valeur du paramètre λ pour le Thorium 227. On donnera le résultat arrondi à 10^-4.

   Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours d'où :

   $$\begin{array}{ccc}1-{\mathrm{e}}^{-18\lambda }=\mathrm{0,5}& \iff & {\mathrm{e}}^{-18\lambda }=\mathrm{0,5}\hfill \\ & \iff & -18\lambda =\ln \mathrm{0,5}\hfill \\ & \iff & \lambda =-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{18}}\approx \mathrm{0,0385}\hfill \end{array}$$

   La durée de vie du Thorium 227 suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,0385}$.

   ---

3. On suppose que $\lambda =\mathrm{0,04}$. Donner alors la durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227.

   L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ est égale à ${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$

   La durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227 est de ${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,04}}}=25$ jours.

   ---

partie b : Loi normale et usinage

Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l'industrie aérospatiale. Le diamètre (exprimé en centimètres) d'une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoire X suivant la loi normale d'espérance 3,65 et d'écart type 0,004.
Les résultats seront donnés à 10^-3près.

1. Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre 3,645 et 3,655.
   Calculer la probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme.

   Avec la calculatrice, on obtient $P\left(\mathrm{3,645}⩽X⩽\mathrm{3,655}\right)\approx \mathrm{0,789}$.

   La probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme est 0,789 (arrondie au millième près).

   ---

2. Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion p de pièces conformes est 79 %. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille n est $$I=\left[p-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{p\left(1-p\right)}{n}}};p+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{p\left(1-p\right)}{n}}}\right]$$ On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de 100 pièces.
   Lors d'un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ?
   Justifier la réponse.

   Comme $n=100$, $n\times p=100\times \mathrm{0,79}=79$ et $n\times \left(1-p\right)=100\times \mathrm{0,21}=21$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,79}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,79}\times \mathrm{0,21}}{100}}};\mathrm{0,79}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,79}\times \mathrm{0,21}}{100}}}\right]\end{array}$$

   Soit en prenant des valeurs approchées à 10^-3 près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille 100 est $I=\left[\mathrm{0,710};\mathrm{0,870}\right]$.

   La fréquence observée de pièces conformes dans l'échantillon est $$f={\displaystyle \frac{100-25}{100}}\approx \mathrm{0,75}$$

   La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Il n'est pas nécessaire d'effectuer des réglages sur la chaîne de production.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesQCMVrai-FauxFonctions logarithmesFonctions exponentiellesÉquations différentiellesNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.