sujet : Polynésie septembre 2014

correction de l'exercice 3

Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé « alcoolémie » et est mesuré en grammes par litre (g/L).
Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur ${ℝ}^{+}$ par : $$f\left(t\right)=\mathrm{2,5}t{\mathrm{e}}^{-t}$$

partie a

1. Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures.

   $$f\left(2\right)=\mathrm{2,5}\times 2\times {\mathrm{e}}^{-2}\approx \mathrm{0,68}$$

   Au bout de 2 heures, l'alcoolémie de la personne considérée est d'environ 0,68 g/L.

   ---

2. Montrer que pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(t\right)=\mathrm{2,5}\left(1-t\right){\mathrm{e}}^{-t}$.

   f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $\{\begin{array}{ccc}u\left(t\right)=\mathrm{2,5}t\hfill & \text{;}& u\prime \left(t\right)=\mathrm{2,5}\hfill \\ v\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-t}\hfill & \text{;}& v\prime \left(t\right)=-{\mathrm{e}}^{-t}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(t\right)& =& \mathrm{2,5}{\mathrm{e}}^{-t}-\mathrm{2,5}t{\mathrm{e}}^{-t}\hfill \\ & =& \mathrm{2,5}\left(1-t\right){\mathrm{e}}^{-t}\hfill \end{array}$$

   La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(t\right)=\mathrm{2,5}\left(1-t\right){\mathrm{e}}^{-t}$.

   ---

3. Vérifier que la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) : $y\prime +y=\mathrm{2,5}{\mathrm{e}}^{-t}$

   $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(t\right)+f\left(t\right)& =& \mathrm{2,5}\left(1-t\right){\mathrm{e}}^{-t}+\mathrm{2,5}t{\mathrm{e}}^{-t}\hfill \\ & =& \mathrm{2,5}{\mathrm{e}}^{-t}\hfill \end{array}$$

   La fonction f est une solution de l'équation différentielle (E).

   ---

4. En remarquant que pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ on a $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}t}{{\mathrm{e}}^t}}$, déterminer $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)$ et donner une interprétation géométrique de cette limite.

   $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^t}{t}}=+\infty$ d'où $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{t}{{\mathrm{e}}^t}}=0$ et $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}t}{{\mathrm{e}}^t}}=0$

   $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=0$ par conséquent, la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote l'axe des abscisses au voisinage de + ∞.

   ---

5. Déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$ définie par $f\prime \left(t\right)=\mathrm{2,5}\left(1-t\right){\mathrm{e}}^{-t}$.
   Comme pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-t}>0$ alors, $f\prime \left(t\right)$ est du même signe que $1-t$. D'où le tableau établissant le signe de $f\prime \left(t\right)$ ainsi que les variations de la fonction f :

   t	0		1		+ ∞
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(t\right)$	0		$\frac{\mathrm{2,5}}{\mathrm{e}}$		0

   ---

6. Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ?

   Le maximum de la fonction t est atteint pour $t=1$ et, $$f\left(1\right)=\mathrm{2,5}\times {\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,92}$$.

   L'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée est d'environ 0,92 g/L.

   ---

partie b

1. Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. On prendra 2 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées.

2. En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5 g/L.
   Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12 h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ?
   On utilisera la représentation graphique de la fonction f.

   Avec la précision permise par un graphique tracé à main levée, on constate que la courbe représentive de la fonction f est en dessous de la droite d'équation $y=\mathrm{0,5}$ sur un intervalle d'amplitude 1 pour $t>\mathrm{2,5}$. Or $f\left(\mathrm{2,5}\right)\approx \mathrm{0,513}$ et $f\left(\mathrm{2,55}\right)\approx \mathrm{0,498}$

   Cette personne pourra reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure à partir de 14 heures trente-cinq minutes.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

conformes au programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesQCMVrai-FauxFonctions logarithmesFonctions exponentiellesÉquations différentiellesNombres complexesProbabilités

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.