Baccalauréat technologique 2015 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2015

correction de l'exercice 4

Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à 10^-4 près.
L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5 litre de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1,55 litre.
À l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne $μ = 1,5$ et d'écart-type $σ = 0,015$ .

1. L'une des trois figures donne la courbe représentative $C_{f}$ de la densité f de cette loi normale. Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant votre choix.
  
  La courbe représentative de la fonction de densité f de cette loi normale admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x = μ$ , soit $x = 1,5$ . La courbe de la figure 3 est la seule des tris courbes qui puisse convenir.
  
  Figure 3
2. Déterminer $P (1,485 ⩽ X ⩽ 1,515)$ .
  
  Avec la calculatrice, on a : $P (1,485 ⩽ X ⩽ 1,515) \approx 0,6827$ .
On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits
1. Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits ?
  
  La variable aléatoire X qui suit la loi normale est une variable continue donc $P (X = 1,48) = 0$ .
  
  La probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits est nulle.
2. Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
  
  Avec la calculatrice, on a : $P (1,46 ⩽ X ⩽ 1,54) \approx 0,9923$
  
  La probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits est 0,9923 (arrondie à 10^-4 près).
3. Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage ?
  On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de 1,55 litre.
  
  La calculatrice permet d'obtenir la probabilité $P (a ⩽ X ⩽ b)$ quand X suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ : $\begin{array}{rcl} P (X > 1,55) & = & P (X ⩾ 1,5) - P (1,5 ⩽ X ⩽ 1,55) \\ = & 0,5 - P (1,5 ⩽ X ⩽ 1,55) \approx 0,0004 \end{array}$
  
  La probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage est 0,0004 (arrondie à 10^-4 près).
Une bouteille est dite conforme si elle contient entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est 0,0077.
Un supermarché achète un lot de 10 000 bouteilles.
1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence observée de bouteilles non conformes dans un tel lot.
  
  Comme $n = 10000$ , $n \times p = 10000 \times 0,0077 = 77$ et $n \times (1 - p) = 10000 \times 0,9923 = 9923$ , l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $\begin{matrix} I = [0,0077 - 1,96 \times \sqrt{\frac{0,0077 \times 0,9923}{10000}}; 0,0077 + 1,96 \times \sqrt{\frac{0,0077 \times 0,9923}{10000}}] \end{matrix}$
  
  Soit avec des valeurs approchées à $10^{- 4}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de bouteilles non conformes dans la production sur un échantillon de taille 10000 est $I = [0,0059; 0,0095]$ .
2. Dans le lot de 10 000 bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement élevé.
  L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter ?
  
  La fréquence observée des bouteilles non conformes dans le lot est $f = \frac{90}{10000} = 0,009$
  
  La fréquence des bouteilles non conformes dans le lot appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% donc ce lot est représentatif de la production de l'usine.

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