Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10-2 près.
Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.
On note et les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre.
Pour une fibre de longueur L exprimée en kilomètres (km), la relation liant , et L est donnée par : où a est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre.
Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :
Le premier type de fibre de longueur 100 km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire . Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?
La puissance du signal à la sortie est :
La puissance du signal à la sortie est inférieure à 0,08 mW donc le signal doit être amplifié.
La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction g de la variable x, où x est la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction g est définie et dérivable sur l'intervalle et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle .
Résoudre l'équation différentielle .
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies sur par , où k est une constante réelle quelconque.
Sachant que , vérifier que la fonction g est définie sur l'intervalle par .
La fonction g est définie sur l'intervalle par .
Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
Le coefficient d'atténuation linéaire de cette fibre est .
Étudier le sens de variation de la fonction g.
La fonction définie sur par est strictement décroissante. Donc la fonction g définie sur par est strictement décroissante.
Déterminer la limite de la fonction g en .
et , alors et,
Ainsi, .
Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 km de propagation ?
La puissance du signal à la sortie est :
La puissance du signal à la sortie est supérieure à 0,08 mW donc le signal sera encore détecté au bout de 100 km.
Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.
La longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification est de 127,76 km.
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