Baccalauréat technologique 2015 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2015

correction de l'exercice 2

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 10-2 près.

Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.
On note PE et PS les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre.
Pour une fibre de longueur L exprimée en kilomètres (km), la relation liant PE, PS et L est donnée par : PS=PE×e-aLa est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre.

Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
Dans tout l'exercice :

  • la puissance du signal à l'entrée de la fibre est 7 mW ;
  • à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins 0,08 mW ;
  • pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à 0,08 mW.

partie a

Le premier type de fibre de longueur 100 km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire a=0,046. Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

La puissance du signal à la sortie est :PS=7×e-0,046×1000,07

La puissance du signal à la sortie est inférieure à 0,08 mW donc le signal doit être amplifié.


partie b

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction g de la variable x, où x est la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction g est définie et dérivable sur l'intervalle [0;+[ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle y+0,035y=0.

  1. Résoudre l'équation différentielle y+0,035y=0.

    Les solutions de l'équation différentielle y+0,035y=0 sont les fonctions définies sur par xke-0,035x, où k est une constante réelle quelconque.


    1. Sachant que g(0)=7, vérifier que la fonction g est définie sur l'intervalle [0;+[ par g(x)=7e-0,035x.

      La fonction g est définie sur l'intervalle [0;+[ par g(x)=ke-0,035x. g(0)=7k×e0=7k=7

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0;+[ par g(x)=7e-0,035x.


    2. En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.

      Le coefficient d'atténuation linéaire de cette fibre est a=0,035.


    1. Étudier le sens de variation de la fonction g.

      La fonction définie sur par x-0,035x est strictement décroissante. Donc la fonction g définie sur [0;+[ par g(x)=7e-0,035x est strictement décroissante.


    2. Déterminer la limite de la fonction g en +.

      limx+-0,035x=- et limX-eX=0, alors limx+e-0,035x=0 et, limx+7e-0,035x=0

      Ainsi, limx+g(x)=0.


    1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de 100 km de propagation ?

      La puissance du signal à la sortie est : g(100)=7×e-0,035×1000,21

      La puissance du signal à la sortie est supérieure à 0,08 mW donc le signal sera encore détecté au bout de 100 km.


    2. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.

      g(x)<0,087e-0,035x<0,08e-0,035x<0,087-0,035x<ln(0,087)x>-ln(0,087)0,035127,761

      La longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification est de 127,76 km.



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