sujet : France métropolitaine, La Réunion 2015

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. On considère le nombre complexe $z=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$. La forme algébrique du nombre complexe z est :

   $$\begin{array}{rcl}z=3{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}& =& 3\times \left(\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+\mathrm{i}\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\right)\\ & =& 3\times \left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{i}\end{array}$$

   a. $-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{i}$

   b. ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{i}$

   c. ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{i}$

   d. $-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{i}$

2. $z_1=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ et $z_2=\sqrt{3}-\mathrm{i}$. La forme exponentielle du nombre complexe $z_1\times z_2$ est :

   $$\begin{array}{rcl}{z}_1\times z_2& =& \left(1+\mathrm{i}\sqrt{3}\right)\times \left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)\\ & =& \sqrt{3}-\mathrm{i}+3\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2\sqrt{3}\\ & =& 2\sqrt{3}+2\mathrm{i}\end{array}$$

   Déterminons la forme exponentielle du nombre complexe $z_1\times z_2=2\sqrt{3}+2\mathrm{i}$ :

   • Le module du nombre complexe $z_1\times z_2$ est : $$\left|z_1\times z_2\right|=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2}=\sqrt{16}=4$$

   • Un argument θ du nombre complexe $z_1\times z_2$ est tel que :$$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$ D'où $z_1\times z_2$ a pour argument $\mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$

   Ainsi, la forme exponentielle du nombre complexe $z_1\times z_2=4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

   a. $4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

   b. $-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$

   c. $2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$

   d. $4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}$

3. Les solutions de l'équation différentielle $y″+{\displaystyle \frac{1}{3}}y=0$ sont de la forme :

   Les solutions de l'équation différentielle $y″+{\displaystyle \frac{1}{3}}y=0$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $t\mapsto A\cos \left(\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{3}}}t\right)+B\sin \left(\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{3}}}t\right)$ où A et B sont des constantes réelles quelconques.

   a. $t\mapsto {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}{t}^2$

   b. $t\mapsto A\cos \left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}t\right)+B\cos \left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}t\right)$

   c. $t\mapsto A{\mathrm{e}}^{-\sqrt{3}t}$

   d. $t\mapsto -{\displaystyle \frac{1}{3}}$

4. La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]-1;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=2+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$. La limite de cette fonction f en $+\infty$ est égale à :

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x+1}}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }2+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}=2$.

   a. $-\infty$

   b. $+\infty$

   c. 0

   d. 2

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