sujet : Antilles Guyane 2016

correction de l'exercice 2

Sur le graphique ci-dessous, $𝒞$ est la courbe représentative, dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$, d'une fonction f définie sur $ℝ$.

partie a - Étude graphique

La droite T est tangente à $𝒞$ au point $A\left(\mathrm{2,5};\mathrm{1,5}\right)$ et d'ordonnée à l'origine 2,75.
L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $𝒞$ au voisinage de $+\infty$.
Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :

1. $f\left(1\right)$ ;

   La courbe $𝒞$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(1;0\right)$ donc $f\left(1\right)=0$

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2. $f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)$ ;

   Le nombre dérivé $f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $𝒞$ au point $A\left(\mathrm{2,5};\mathrm{1,5}\right)$ d'où $$f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}-\mathrm{2,75}}{\mathrm{2,5}-0}}=-\mathrm{0,5}$$

   $f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)=-\mathrm{0,5}$

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3. Une équation de la tangente T ;

   La tangente T a pour coefficient directeur $f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)=-\mathrm{0,5}$ et pour ordonnée à l'origine 2,75 d'où :

   La tangente T a pour équation $y=-\mathrm{0,5}x+\mathrm{2,75}$

   ---

4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ ;

   L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $𝒞$ au voisinage de $+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

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partie b - Modélisation

On admet qu'il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}$.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ en fonction de a et b.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables :
   $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=ax+b\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=a\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& a{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}-\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}\hfill \\ & =& \left(-ax+a-b\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f\prime \left(x\right)=\left(-ax+a-b\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}$

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2. Exprimer en fonction des réels a et b les nombres suivants $f\left(1\right)$ ; $f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)$.

   $f\left(1\right)=\left(a+b\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}$ et $f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)=\left(-\mathrm{1,5}a-b\right)$.

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3. Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par a et b.

   D'après les résultats de la partie A : $$\begin{array}{rclcl}f\left(1\right)=0& \iff & \left(a+b\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}=0& \iff & a+b=0\\ f\prime \left(\mathrm{2,5}\right)=-\mathrm{0,5}& \iff & -\mathrm{1,5}a-b=-\mathrm{0,5}& \iff & \mathrm{1,5}a+b=\mathrm{0,5}\end{array}$$

   Ainsi, a et b sont solutions du système : $\{\begin{array}{l}a+b=0\\ \mathrm{1,5}a+b=\mathrm{0,5}\end{array}$

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4. Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f\left(x\right)$ en fonction de x.

   $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{l}a+b=0\\ \mathrm{1,5}a+b=\mathrm{0,5}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a+b=0\\ \mathrm{0,5}a=\mathrm{0,5}\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-1\end{array}\end{array}$$

   f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}$.

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partie c - Étude algébrique

On admet que pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}$.

1. Déterminer la limite de f en $-\infty$.

   $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x-1\right)=-\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}=+\infty$ donc par produit des limites $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}=-\infty$.

   Soit $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

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2. 1. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}\left({\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}\right)$.

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}& =& \left(x-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x-1}{{\mathrm{e}}^x}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}\\ & =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}\left({\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}\right)\end{array}$$

      Pour tout réel x, $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{2,5}}\left({\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}\right)$.

      ---

   2. Déterminer la limite de f en $+\infty$

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x}}=+\infty$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}=0$ et comme, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}=0$ on en déduit que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}}-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^x}}=0$.

      Soit $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$

      ---

3. 1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ pour tout réel x.

      D'après les résultats de la partie B, on a $f\prime \left(x\right)=\left(-x+2\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}$.

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime$ et en déduire le tableau des variations de la fonction f en faisant figurer les limites trouvées précédemment.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(-x+2\right)$.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	− ∞		2		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	$-\infty$		$\sqrt{\mathrm{e}}$		0

      ---

partie d - Application

1. Sur l'annexe fournie, hachurer la surface décrite précédemment.

Pour déterminer l'aire S de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.

2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $I={\displaystyle {\int }_2^{\mathrm{2,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_2^{\mathrm{2,5}}\left(-2x^2+12x-16\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+6x^2-16x\right]}_2^{\mathrm{2,5}}}\\ & =& \left(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times {\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^3+6\times {\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2-16\times {\displaystyle \frac{5}{2}}\right)-\left(-{\displaystyle \frac{2}{3}}\times 2^3+6\times 2^2-16\times 2\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{155}{12}}+{\displaystyle \frac{40}{3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{5}{12}}\end{array}$$

   $I={\displaystyle {\int }_2^{\mathrm{2,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{5}{12}}$.

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3. on souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $J={\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{2,5}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ où f est la fonction dont une expression est donnée dans la partie C.

   1. Vérifier qu'une primitive F de la fonction f sur $ℝ$ est la fonction définie par : pour tout réel x, $F\left(x\right)=-x{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}$.

      Pour tout réel x, $$F\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}+x{\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}=\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$.

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   2. En déduire la valeur exacte de l'intégrale J.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{2,5}}\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}\mathrm{d}x}& =& F\left(\mathrm{2,5}\right)-F\left(1\right)\\ & =& -\mathrm{2,5}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\end{array}$$

      $J={\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{2,5}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=-\mathrm{2,5}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}$.

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4. 1. Déterminer la valeur exacte de l'aire S en unité d'aire.

      Graphiquement, l'aire S du domaine hachuré est : $$\begin{array}{rcl}S& =& {\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{2,5}}\left(x-1\right){\mathrm{e}}^{-x+\mathrm{2,5}}\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{2,5}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& -\mathrm{2,5}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}-{\displaystyle \frac{5}{12}}\\ & =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}-{\displaystyle \frac{35}{12}}\end{array}$$

      $S={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}-{\displaystyle \frac{35}{12}}$ unités d'aire.

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   2. En déduire la valeur arrondie à 10^-2 de l'aire S en unité d'aire.

      $S\approx \mathrm{1,57}$ unités d'aire.

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