Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à près.
Un manufacturier de pneumatiques produit des pneus d'avions en grande quantité.
Il s'engage à livrer des produits spécifiques aux avionneurs de masse maximum
garantie de 124 kg. Ces pneus doivent supporter une charge nominale de 10 tonnes, des vitesses pouvant aller jusqu'à 420 km.h-1 et des températures instables allant de (en altitude) à (au moment du décollage).
On note M la variable aléatoire qui, à chaque pneu prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en kilogramme. On admet que la variable aléatoire M suit la loi normale de moyenne et d'écart-type .
Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg comprise entre 120,95 et 121,79.
D'après le cours ou avec la calculatrice, on trouve :
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg comprise entre 120,95 et 121,79 est égale à 0,683.
Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg supérieure à 122,63.
Arrondie au millième près, la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg supérieure à 122,63 est égale à 0,001.
Un pneu trop lourd entraîne une augmentation de la consommation du kérosène.
Lorsque la masse d'un pneu reçu par une compagnie aérienne dépasse 121,9 kg cela entraîne des pénalités financières pour le manufacturier.
Sur la chaîne de fabrication, on prélève de façon aléatoire un échantillon de 36 pneus et on constate que 2 d'entre eux ont une masse qui dépasse 121,9 kg.
Quelle est la fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse dépasse 121,9 kg ?
La fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse dépasse 121,9 kg est
Déterminer l'intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg dans la production.
On rappelle que lorsqu'une fréquence f est mesurée dans un échantillon de taille n , l'intervalle de confiance à 95 % de la proportion dans la population est donné par :
Comme un intervalle de confiance d'une proprtion p est inclus dans l'intervalle , il est préférable de considérer que :
un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg dans la production est
Donner une interprétation du résultat précédent.
La proportion p de pneus dont la masse dépasse 121,9 kg dans la production est comprise entre 0 et 0,131.
remarque
De l'encadrement et de , on déduit que et . Par conséquent , les conditions de validité de l'intervalle de confiance ne sont pas réunies.
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