sujet : France métropolitaine, La Réunion 2016

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point.Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ . On note i le nombre complexe vérifiant ${\mathrm{i}}^2=-1$.

1. Un argument du nombre complexe $2+2\mathrm{i}$ est égal à :

   • Le module du nombre complexe z est : $$\left|z\right|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$$

   • Un argument θ du nombre complexe z est tel que :$$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }=={\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$

   D'où $\arg \left(z\right)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left[2\pi \right]$.

   a. ${\displaystyle \frac{-\pi }{4}}$

   b. ${\displaystyle \frac{-9\pi }{4}}$

   c. $2\sqrt{2}$

   d. ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

2. Le nombre complexe ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{5}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{15}}$ est égal à :

   $$\begin{array}{rcl}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{5}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{15}}& =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi }{5}+\frac{2\pi }{15}\right)}\\ & =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}\\ & =& \cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+\mathrm{i}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}\end{array}$$

   a. ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{i}$

   b. ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{i}$

   c. $\mathrm{0,5}+\mathrm{0,866}\times \mathrm{i}$

   d. $\mathrm{0,5}+\mathrm{0,8660254038}\times \mathrm{i}$

3. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_A=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$ et $z_B={\displaystyle \frac{5}{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$. Le triangle OAB est :

   $z_A=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$ d'où $OA=\left|z_A\right|=2$ et $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OA}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\left[2\pi \right]$.

   $z_B={\displaystyle \frac{5}{2}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{5\pi }{6}}$ d'où $OB=\left|z_B\right|={\displaystyle \frac{5}{2}}$ et $\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OB}\right)={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\left[2\pi \right]$.

   On a : $$\begin{array}{rcl}\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right)& =& \left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{OB}\right)\\ & =& \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\right)\left[2\pi \right]\\ & =& {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\left[2\pi \right]\end{array}$$ Les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires donc le triangle OAB est rectangle en O

   a. isocèle en O

   b. rectangle en O

   c. rectangle et isocèle en B

   d. isocèle en B

4. Pour tout nombre réel θ le nombre complexe ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\theta }}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\theta }}}}$ est égal à :

   Pour tout nombre réel θ$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\theta }}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\theta }}}}& =& {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\theta }}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\mathrm{\theta }}\\ & =& \left(\cos \mathrm{\theta }+\mathrm{i}\sin \mathrm{\theta }\right)+\left(\cos \left(-\mathrm{\theta }\right)+\mathrm{i}\sin \left(-\mathrm{\theta }\right)\right)\\ & =& \cos \mathrm{\theta }+\mathrm{i}\sin \mathrm{\theta }+\cos \mathrm{\theta }-\mathrm{i}\sin \mathrm{\theta }\\ & =& 2\cos \mathrm{\theta }\end{array}$$

   a. $2\cos \left(\mathrm{\theta }\right)$

   b. $\cos \left(\mathrm{\theta }\right)+\mathrm{i}\sin \left(\mathrm{\theta }\right)$

   c. 1

   d. $2\mathrm{i}\sin \left(\mathrm{\theta }\right)$

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