Baccalauréat technologique 2016 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine, La Réunion 2016

correction de l'exercice 2

Un centre de vacances possède une piscine de 600 m³ soit 600 000 litres. L'eau du bassin contient du chlore qui joue le rôle de désinfectant. Toutefois le chlore se dégrade et 25 % de celui-ci disparaît chaque jour, en particulier sous l'effet des ultra-violets et de l'évaporation.
Le 31 mai à 9 h, le responsable analyse l'eau du bassin à l'aide d'un kit distribué par un magasin spécialisé.
Le taux de chlore disponible dans l'eau est alors de 1,25 mg/L (milligrammes par litre).

Document

Réglementation des piscines publiques

Paramètres contrôlés	Seuils de qualité réglementaire	Incidences sur la qualité de l'eau
Présence de Chlore	Au minimum 2 mg/L	< 2 mg/L : sous chloration Risque de prolifération bactérienne dans l'eau
Présence de Chlore	Au maximum 4 mg/L	> 4 mg/L : surchloration Irritation de la peau

Agence Régionale de Santé

À partir du l^er juin pour compenser la perte en chlore, la personne responsable de l'entretien ajoute, chaque matin à 9 h, 570 g de chlore dans la piscine.
Pour le bien-être et la sécurité des usagers, le responsable souhaite savoir si cet apport journalier en chlore permettra de maintenir une eau qui respecte la réglementation donnée par l'Agence Régionale de Santé pour les piscines publiques.

partie a

Pour tout entier naturel n on note $u_{n}$ la quantité de chlore disponible, exprimée en grammes, présente dans l'eau du bassin le n^ième jour suivant le jour de l'analyse, immédiatement après l'ajout de chlore. Ainsi $u_{0}$ est la quantité de chlore le 31 mai à 9 h et $u_{1}$ est la quantité de chlore le 1^er juin à 9 h après l'ajout de chlore.
1. Montrer que la quantité de chlore, en grammes, présente dans l'eau du bassin le 31 mai à 9 h est $u_{0} = 750$ .
  Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, le responsable pouvait-il donner l'accès à la piscine le 31 mai ?
  Le 31 mai à 9 h, le taux de chlore disponible dans l'eau est de 1,25 mg/L d'où : $u_{0} = 1,25 \times 600 = 750$
  Le responsable interdit l'accès à la piscine le 31 mai car le taux de chlore disponible dans l'eau est inférieur à 2 mg/L.
2. Montrer que $u_{1} = 1132,5$ .
  Chaque jour, la quantité de chlore diminue de 25 % et, la personne responsable de l'entretien ajoute, chaque matin à 9 h, 570 g de chlore dans la piscine d'où : $u_{1} = 750 \times (1 - \frac{25}{100}) + 570 = 1132,5$
  Ainsi, $u_{1} = 1132,5$ .
3. Justifier que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n} + 570$ .
  Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 25 % est égal à 0,75.
  Chaque jour, la quantité de chlore diminue de 25 % et, la personne responsable de l'entretien ajoute, chaque matin à 9 h, 570 g de chlore dans la piscine d'où, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n} + 570$ .
4. La suite $(u_{n})$ est-elle géométrique ?
  La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 750$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n} + 570$ donc $(u_{n})$ n'est pas une suite géométrique.

Soit l'algorithme ci-dessous :

Variables

u : un nombre réel
N : un nombre entier naturel
k : un nombre entier naturel

Initialisation

Saisir la valeur de N
u prend la valeur 750

Traitement

Pour k allant de 1 à N
u prend la valeur $0,75 u + 570$
Fin du Pour

Sortie

Afficher u

Quel est le rôle de cet algorithme ?
Cet algorithme permet d'obtenir la quantité de chlore disponible, exprimée en grammes, présente dans l'eau du bassin le N^ième jour suivant le jour de l'analyse, immédiatement après l'ajout de chlore.
Recopier et compléter le tableau suivant, par des valeurs exactes, en exécutant cet algorithme « pas à pas » pour $N = 3$
Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, au bout de combien de jours la piscine peut-elle être ouverte ?
Variables Initialisation Etape 1 Etape 2 Etape 3
u 750 1132,5 $1132,5 \times 0,75 + 570 = 1419,375$ $1419,375 \times 0,75 + 570 = 1634,53125$
Les seuils de qualité réglementaire correspondent à un taux de chlore compris entre 2 mg/L et 4 mg/L. Soit une quantité de chlore $u_{n}$ telle que : $\begin{matrix} 2 \times 600 ⩽ u_{n} ⩽ 4 \times 600 & \Leftrightarrow & 1200 ⩽ u_{n} ⩽ 2400 \end{matrix}$
La piscine peut être ouverte au bout de deux jours.
Calculer une valeur approchée à 10^-3 près de la quantité de chlore le 15^ième jour juste après l'ajout de chlore.
$u_{15} \approx 2259,554$ donc la quantité de chlore le 15^ième jour juste après l'ajout de chlore est de 2259,554 g.

partie b

Au fil du temps, la quantité de chlore évolue. On note $d_{n}$ l'écart de quantité de chlore d'un jour à l'autre en grammes. Pour tout entier naturel n, on a $d_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ .

1. Calculer $d_{0}$ , $d_{1}$ et $d_{2}$ . On donnera une valeur exacte.
  $\begin{array}{lcl} d_{0} = u_{1} - u_{0} & soit & d_{0} = 1132,5 - 750 = 382,5 \\ d_{1} = u_{2} - u_{1} & soit & d_{1} = 1419,375 - 1132,5 = 286,875 \\ d_{2} = u_{3} - u_{2} & soit & d_{2} = 1634,53125 - 1419,375 = 215,15625 \end{array}$
  Ainsi, $d_{0} = 382,5$ , $d_{1} = 286,875$ et $d_{2} = 215,15625$ .
2. Justifier que $d_{0}$ , $d_{1}$ et $d_{2}$ semblent être les termes d'une suite géométrique.
  $\begin{matrix} \frac{d_{1}}{d_{0}} = \frac{286,875}{382,5} = 0,75 & et & \frac{d_{2}}{d_{1}} = \frac{215,15625}{286,875} = 0,75 \end{matrix}$
  $d_{1} = 0,75 \times d_{0}$ et $d_{2} = 0,75 \times d_{1}$ donc $d_{0}$ , $d_{1}$ et $d_{2}$ sont les trois premiers termes d'une suite géométrique.
Vérifier que $u_{n + 1} - u_{n} = - 0,25 u_{n} + 570$ .
$u_{n + 1} - u_{n} = 0,75 u_{n} + 570 - u_{n} = - 0,25 u_{n} + 570$
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} - u_{n} = - 0,25 u_{n} + 570$ .
On admet que pour tout entier naturel n, on a $d_{n + 1} = 0,75 d_{n}$ .
1. Justifier que $d_{n} = 382,5 \times {0,75}^{n}$ .
  La suite $(d_{n})$ est définie pour tout entier n par $d_{0} = 382,5$ et $d_{n + 1} = 0,75 d_{n}$ donc $(d_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $d_{0} = 382,5$ . Par conséquent :
  pour tout entier naturel n, on a $d_{n} = 382,5 \times {0,75}^{n}$ .
2. En déduire que pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 2280 - 1530 \times {0,75}^{n}$ .
  Pour tout entier naturel n, on a : $\begin{array}{rcl} d_{n} = u_{n + 1} - u_{n} & \Leftrightarrow & 382,5 \times {0,75}^{n} = - 0,25 u_{n} + 570 \\ \Leftrightarrow & 0,25 u_{n} = 570 - 382,5 \times {0,75}^{n} \\ \Leftrightarrow & u_{n} = \frac{570 - 382,5 \times {0,75}^{n}}{0,25} \\ \Leftrightarrow & u_{n} = 2280 - 1530 \times {0,75}^{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 2280 - 1530 \times {0,75}^{n}$ .
3. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ . Interpréter le résultat trouvé.
  $0 < 0,75 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,75}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 2280 - 1530 \times {0,75}^{n} = 2280$ .
  Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 2280$ . À partir d'un certain nombre de jours, la quantité de chlore dans l'eau de la piscine sera chaque jour proche de 2280 g.

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Variables	Initialisation	Etape 1	Etape 2	Etape 3
u	750	1132,5	$1132,5 \times 0,75 + 570 = 1419,375$	$1419,375 \times 0,75 + 570 = 1634,53125$