sujet : France métropolitaine, La Réunion 2016

correction de l'exercice 4

partie a - Sur la route

Un automobiliste se présente devant le pont. Le tablier du pont est en position haute. On s'intéresse ici au temps d'attente D, exprimé en minutes, de l'automobiliste avant qu'il puisse franchir le canal, pont baissé (hors incident).

1. Combien de temps l'automobiliste attend-il au minimum ? au maximum ?

   • Le tablier est en position haute et commence sa descente donc le temps d'attente est égal à 2 minutes.

   • Le tablier vient d'atteindre la position haute donc le temps d'attente est égal à $8+2=10$ minutes.

   L'automobiliste attend au minimum 2 minutes et 10 minutes au maximum.

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2. On admet que le temps d'attente, en minutes, de l'automobiliste pour franchir le pont est une variable aléatoire D qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[2;10\right]$.
   Déterminer l'espérance $E\left(D\right)$ de la variable aléatoire D et interpréter le résultat dans le contexte.

   La variable aléatoire D suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[2;10\right]$ alors, son espérance mathématique est : $$E\left(D\right)={\displaystyle \frac{2+10}{2}}=6$$

   $E\left(D\right)=6$. Le temps d'attente moyen des automobilistes est de 6 minutes.

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3. Calculer la probabilité que le temps d'attente de l'automobiliste ne dépasse pas 5 minutes.

   $$P\left(2⩽D⩽5\right)={\displaystyle \frac{5-2}{10-2}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$$

   La probabilité que le temps d'attente de l'automobiliste ne dépasse pas 5 minutes est égale à ${\displaystyle \frac{3}{8}}$.

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partie b - Sur l'eau

1. Déterminer l'espérance $E\left(T\right)$ de la variable aléatoire T et interpréter le résultat dans le contexte.

   L'espérance mathématique de la variable aléatoire T suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda =\mathrm{0,05}$ est : $$E\left(T\right)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,05}}}=20$$

   $E\left(T\right)=20$. Le temps moyen de latence est de 20 heures.

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2. On considère la fonction f définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\mathrm{0,05}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}x}$.

   1. Montrer que la fonction F définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}x}$ est une primitive de f.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, on pose $u\left(x\right)=-\mathrm{0,05}x$ d'où $u\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,05}$. On en déduit que $f=-u\prime {\mathrm{e}}^u$ donc une primitive de la fonction f est la fonction $F=-{\mathrm{e}}^u$.

      Ainsi, la fonction F définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}x}$ est une primitive de f.

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   2. On rappelle que pour tout nombre réel t de $\left[0;+\infty \right[$, $P\left(T⩽t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. Démontrer que $P\left(T⩽t\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}t}$.

      $$\begin{array}{rcl}P\left(T⩽t\right)& =& {\displaystyle {\int }_0^{t}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\\ & =& F\left(t\right)-F\left(0\right)\\ & =& -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}t}-\left(-{\mathrm{e}}^0\right)\\ & =& 1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}t}\end{array}$$

      Ainsi, pour tout nombre réel t de $\left[0;+\infty \right[$, $P\left(T⩽t\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}t}$.

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3. 1. Calculer la probabilité que le temps de latence soit inférieur à une demi-journée, soit 12 heures.

      $$P\left(T⩽12\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}\times 12}=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}\approx \mathrm{0,45}$$

      Arrondie au centième près, la probabilité que le temps de latence soit inférieur à 12 heures est 0,45.

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   2. Calculer la probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour.

      $$P\left(T⩾24\right)=1-P\left(T⩽24\right)=1-\left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}\times 24}\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,2}}\approx \mathrm{0,30}$$

      Arrondie au centième près, la probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour est 0,30.

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   3. Calculer $P\left(12⩽T⩽24\right)$.

      • méthode 1

        $$P\left(12⩽T⩽24\right)=P\left(T⩾12\right)-P\left(T⩾24\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,2}}\approx \mathrm{0,25}$$

      • méthode 2

        $$\begin{array}{rcl}P\left(12⩽T⩽24\right)& =& {\displaystyle {\int }_{12}^{24}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(24\right)-F\left(12\right)\\ & =& -{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}\times 24}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,05}\times 12}\\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,6}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,2}}\approx \mathrm{0,25}\end{array}$$

      Arrondie au centième près, la probabilité que le temps de latence soit compris entre une demi-journée et un jour est 0,25.

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