Baccalauréat technologique 2016 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2016

correction de l'exercice 1

La politique communautaire de gestion des déchets et ses déclinaisons françaises sont définies par de nombreuses directives, dont la portée varie. Certaines ont une portée générale et d'autres concernent certaines catégories de déchets spécifiques.
Le Projet de Plan national de prévention des déchets 2010-2020 concerne les déchets ménagers et assimilés (DMA). L'objectif proposé par ce projet est une réduction annuelle de 7 % des DMA produits par habitant entre 2010 et 2020.
Les DMA produits en France ont été de 590 kg par habitant en 2011 et de 570 kg par habitant en 2013.
Source ADEME

partie a

La réduction des DMA produits entre 2011 et 2013 atteint-elle l'objectif fixé par le Projet de Plan national de prévention des déchets ?

méthode 1
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 7 % est $1 - \frac{7}{100} = 0,93$ .
Avec une réduction annuelle de 7 % des DMA, la quantité de DMA par habitant en 2013 devrait être de : $590 \times {0,93}^{2} = 510,291$
Les DMA produits en France ayant été de 570 kg par habitant en 2013, l'objectif fixé par le Projet de Plan national de prévention des déchets n'est pas atteint en 2013.
méthode 2
Calculons le pourcentage d'évolution annuel moyen des DMA produits en France entre 2011 et 2013 : $\begin{array}{rcl} 590 \times {(1 + \frac{t}{100})}^{2} = 570 & \Leftrightarrow & 1 + \frac{t}{100} = {(\frac{570}{590})}^{\frac{1}{2}} \\ \Leftrightarrow & t \approx - 1,7 \end{array}$
Avec une réduction annuelle d'environ 1,7 % des DMA produits par habitant entre 2011 et 2013, l'objectif fixé par le Projet de Plan national de prévention des déchets n'est pas atteint en 2013.

partie b

On considère que les objectifs du plan national de prévention des déchets sont atteints à partir de 2013. On modélise par une suite $(u_{n})$ la quantité de DMA produits en kg par habitant, le terme $u_{n}$ correspondant à l'année $2013 + n$ . Ainsi $u_{0} = 570$ .

Calculer $u_{1}$ .
$u_{1} = 570 \times (1 - \frac{7}{100}) = 530,1$
$u_{1} = 530,1$ .
Quelle est la quantité de DMA produits, arrondie au kg par habitant, en 2015 ?
$u_{2} = 530,1 \times 0,93 = 492,993$
Les DMA produits en France ont été d'environ 493 kg par habitant en 2015.
Déterminer la nature de la suite $(u_{n})$ puis exprimer $u_{n}$ en fonction de n.
Pour tout entier n on a $u_{n + 1} = 0,93 \times u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,93$ .
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,93$ et de premier terme $u_{0} = 570$ donc pour tout entier n on a $u_{n} = 570 \times {0,93}^{n}$ .

partie b

On considère l'algorithme ci-contre :

Variables

n : un nombre entier naturel
q : un nombre réel
u : un nombre réel

Entrée

Saisir n

Initialisation

Affecter à u la valeur 570
Affecter à q la valeur 0,93

Traitement

Répéter n fois
Affecter à u la valeur $u \times q$

Sortie

Afficher u

On entre dans l'algorithme la valeur $n = 4$ .
Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies au kg près par habitant).

	n	q	u
Entrées et initialisation	4	0,93	570
1^er passage dans la boucle de l'algorithme			530
2^e passage dans la boucle de l'algorithme			493
3^e passage dans la boucle de l'algorithme			458
4^e passage dans la boucle de l'algorithme			426

Interpréter la valeur de u obtenue au quatrième passage dans la boucle de l'algorithme.
La quantité de DMA produits en 2017 devrait être d'environ 426 kg par habitant.
Quel sera le pourcentage de réduction des DMA produits entre 2013 et 2017 si l'objectif du Projet de Plan national de prévention des déchets est atteint chaque année ?
${0,93}^{4} \approx 0,748$ ce qui correspond à une réduction d'environ 25,2 %.
Quelle devrait être la quantité de DMA produits en 2020 pour atteindre l'objectif fixé par le Projet de Plan national de prévention des déchets ?
$u_{7} = 570 \times {0,93}^{7} \approx 343$
La quantité de DMA produits en 2020 devrait être d'environ 343 kg par habitant.

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